福特嘉年华维修手册(69)

院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014级学生姓名：王继禹学号：201401050335教师姓名：徐霞6.6习题3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。解：（1）模型分析建立:狗的轨迹：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。假设1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X(t)和Y(t)描述。假设2：当t=0时，狗是在点(x0,y0)处，在时刻t时，它的位置是(x(t),y(t))那么下列方程成立：(1)狗以恒定速率跑:X’2+y’2=w2(2)狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：将上述方程带入等式：,可得：再将λ代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：（2）程序及结果dog函数[dog.m]function[zs,isterminal,direction]=dog(t,z,flag)globalw;%w=speedofthedogX=jogger(t);h=X-z;nh=norm(h);ifnargin3||isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch(flag)case'events'zs=nh-1e-3;isterminal=1;direction=0;otherwiseerror(['Unknowflag:'flag]);endend慢跑者的运动轨迹方程，水平向右[jogger.m]functions=jogger(t);s=[8*t;0];标记的函数[cross.m]functioncross(Cx,Cy,v)Kx=[CxCxCxCx-vCx+v];Ky=[CyCy+2.5*vCy+1.5*vCy+1.5*vCy+1.5*v]plot(Kx,Ky);plot(Cx,Cy,'o');主程序：静态显示[main1.m]globalwy0=[60;70];w=10;options=odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options);clf;holdon;axis([-10,100,-10,70]);plot(Y(:,1),Y(:,2));J=[];forh=1:length(t),w=jogger(t(h));J=[J;w'];endplot(J(:,1),J(:,2),':');p=max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)holdoff;动态显示[main2.m]globalw;y0=[60;70];w=10;options=odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options);J=[];forh=1:length(t);w=jogger(t(h));J=[J;w'];endxmin=min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax=max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin=min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax=max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;holdon;axis([xmin-10xmaxymin-10ymax]);title('ThejoggerandtheDog');forh=1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode','none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMode','none');drawnow;pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':');p=max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)holdoff;结果t=12.2761812635281，在12.27秒后狗追上慢跑者。慢跑者轨迹是椭圆轨迹[jogger2.m]functions=jogger2(t)s=[10+20*cos(t)20+15*sin(t)];狗的微分方程[dog.m]function[zs,isterminal,direction]=dog(t,z,flag)globalw;%w=speedofthedogX=jogger2(t);h=X-z;nh=norm(h);ifnargin3||isempty(flag)zs=(w/nh)*h;elseswitch(flag)case'events'zs=nh-1e-3;isterminal=1;direction=0;otherwiseerror(['Unknowflag:'flag]);endend主程序[main3.m]globalw;y0=[60;70];w=10;options=odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options);J=[];forh=1:length(t);w=jogger2(t(h));J=[J;w'];endxmin=min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax=max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin=min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax=max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;holdon;axis([xmin-10xmaxymin-10ymax]);title('ThejoggerandtheDog');forh=1:length(t)-1,plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode','none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMode','none');drawnow;pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':');p=max(size(Y));cross(Y(p,1),Y(p,2),2)holdoff;结果取w=25有t=4.017776368842910，经过4秒左右狗追上慢跑者。8.平面上有n(n=2)个圆，任何两个圆都相交但无3个圆共点。试问n个圆把平面划分成多少个不连通的区域？解：∵一个圆将平面分为2份两个圆相交将平面分为4=2+2份，三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，…平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n=n2-n+2证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，命题成立．（2）假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个区域．当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2个区域．∴n=k+1时，命题也成立．由（1）、（2）知，对任意的n∈N*，命题都成立．9.某人有n元钱，他每天买一次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买二元钱的乙物品，问他花完这n元钱有多少不同的方式？解：设an表示花完这n元钱的方案种数，若n=1，则只能买甲，有一种方法，故a1=1，若n=2，则可以买2个甲，或者1个乙或1个丙，即a2=3，当n≥3时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2则当n≥3时，an+an-1=2（an-1+an-2），即{an+1+an}是公比q=2的等比数列，首项为a2+a1=1+3=4，则an+1+an=4•2n-1=2n+1，∴an+an-1=2n，两式相减得an+1-an-1=2n+1-2-=2-，（n≥2），若n是奇数，an=2n-1+2n-3+…+22+a1=(2n+1-1)/3若n是偶数，an=2n-1+2n-3+…+23+a2=(2n+1+1)/3．7.6习题1.在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度T和压力P下的导热系数K。下面是实验得到的一组数据：T/C68688787106106140140P/310KPa9.798113.3249.007813.3559.791814.2779.656312.463K0.08480.08970.07620.08070.06960.07530.06110.0651试求T=99C和P=10.3x310KPa下的K。解：找出温度T相等时，导热系数K与压力P的关系。由于在不同温度时，仅给出两个K、P的值，因此采用线性近似，把K、P看作是线性关系。建立M文件：functiony=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end主程序：p1=[9.7981,13.324];k1=[0.0848,0.0897];%T=68℃p2=[9.0078,13.355];k2=[0.0762,0.0807];%T=87℃p3=[9.7918,14.277];k3=[0.0696,0.0753];%T=106℃p4=[9.6563,12.463];k4=[0.0611,0.0651];%T=140℃a2=polyfit(p2,k2,1);a3=polyfit(p3,k3,1);x1=polyval(a2,10.3);x2=polyval(a3,10.3);%x1，x2分别是P=10.3*10^3kPa下87℃和106℃的K值plot(10.3,x1,'k+',10.3,x2,'k+',p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4)xlabel('丙烷压力P')ylabel('丙烷导热系数K')title('在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图')gtext('T=68℃'),gtext('T=87℃'),gtext('T=106℃'),gtext('T=140℃')运行后图中所标点为P=10.3*10^3kPa时，T=87℃和T=106℃对应的导热系数K值。在T=87℃和T=106℃之间仍采用线性近似来求T=99℃时的导热系数K。程序如下：x=[87,106];y=[x1,x2];a=polyfit(x,y,1);z=polyval(a,99)z=0.0729plot(99,z,'k+',x,y)gridxlabel('丙烷温度T')ylabel('丙烷导热系数K')title('压力P=10.3*10^3kPa时丙烷导热系数与温度的关系')运行结果:T=99℃、P=10.3*10^3KPa时K=0.0729。4.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为v(t)=V-(V-V0)teT,其中v0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t，v数据确定V0和。t/s0.51234579V/伏6.366.487.268.228.668.999.349.63解：建立M文件functionf=dianya(x,t)f=10-(10-x(1))*exp(-t/x(2))%x(1)=V0；x(2)=τ主程序：t=[0.51234579