离心率在圆锥曲线中的应用

1离心率在圆锥曲线解题中的应用裔媛媛夏慧明(南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院,江苏泰州,225300)摘要：圆锥曲线的定义是凸显圆锥曲线几何性质的根源，是学习圆锥曲线的基础，在高考中占有举足轻重的地位。本文主要研究了离心率在椭圆、双曲线及抛物线中的应用，并结合具体的实例，进行了详尽的分析讲解。关键词：离心率；椭圆；双曲线抛物线1引言圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一定点F与到一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹。（点F不在直线l上）当10e时，轨迹是椭圆；当1e时，轨迹是双曲线；当1e时，轨迹是抛物线。从中可看出离心率是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，揭示了圆锥曲线中最原始、最本质的数量关系，刻划了其形状特征，反映了其本质属性。涉及到焦点半径、准线的问题，可考虑离心率在解题中的作用。本文主要对离心率在椭圆、双曲线、抛物线中的应用，结合具体例题进行了分析讲解。2离心率在椭圆中的应用一般情况下，凡涉及到圆锥曲线上点的和两个焦点的问题，可考虑圆锥曲线的第一定义来解决。但也有例外，涉及焦半径、焦点弦的问题时，考虑圆锥曲线的第二定义，利用离心率的数量关系来解题。例1：已知，P是椭圆上一点，21,FF分别是椭圆13422yx上的左右焦点，21PFPFk，那么k的最大值与最小值的差是多少？分析：因为椭圆方程已知，所以根据椭圆第一定义可设mPF1，则mPF42，因此2214mmPFPFk，)4,0(m，此为关于m的一元二次方程，但细究会发现m的取值范围就存在了问题，m最小可以取到的不是无限的向零逼近，于是便无法精确的确定m，问题就无法解决。因此可以考虑将1PF，2PF的关系运用椭圆第二定义进行转化，用离心率解题。解：如图1，过P向两条准线做垂线，交两垂线于A、B两点，由椭圆第二定义可知：PBePFPAePF21,PBPAePFPFk221设xPB，则xPA8，又21ace，则)8(41xxk，6,2x可知)8(41xxk为关于m的一元二次方程，且开口方向向下，对称轴为4x因此，当4x时，k取到最大值4；当62或x时，k取到最小值3；即k的最大值与最小值的差是1。2图1图2图33离心率在双曲线中的应用高考填空题中设置有关圆锥曲线的题目时，小题大做的情形屡见不鲜，耗时耗力。更重要的是一旦深陷死胡同，影响心情，降低答题效率。解这类题型，需分析题设，选择简便方法，与椭圆双曲线上的点有关的问题，可考虑利用定义根据点到焦点与到准线的距离比为定值来转化。例2：已知双曲线127922yx与点)3,5(M，F为右焦点，若双曲线上有一点P，使PFPM21最小，则P点的坐标？分析：作为填空题，为求快、简、准，需要推敲题中所给出的数量关系。使PFPM21最小，那么为什么是12？有何价值呢？由双曲线的方程可知是离心率的倒数。由此想到，用双曲线的第二定义求解。解：如图2，双曲线的右焦点)0,6(F，离心率2e，右准线为32lx：.作MNl于N，交双曲线右支于P，连结FP则有122PFePNPNPNPF要使PFPM21最小，由上可知PFPM21为定值；此时5723521PNPMPFPM为最小值；在127922yx中，令3y，得32122xx，0x，32x取，即所求点P的坐标为233（，）。4离心率在抛物线中的应用与圆锥曲线上的点和焦点有关的最值问题，通常利用圆锥曲线的定义进行转化。通过数形结合避免繁琐的代数运算，常用方法是构造梯形或三角形，利用其性质求最值。例3：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值。分析：由于抛物线的离心率1e，根据其定义，即点到焦点的距离与点到直线的距离相等来进行转化。构造梯形，利用腰上中点的连线等于两底和的一半取最值。3解：如图3，分别过A、B、M向准线做垂线交于C、D、N，则有|)||(|21BDACMN根据抛物线的方程xy2，得到0,41F，则准线l：41x由于1e，则ACAF，BDBF，设),(00yxM则2321|)||(|21|)|(|21410ABBFAFBDACxMN从而23410x，即450x因此，当A、B、F三点共线时，45minMN5总结离心率是解析几何高考的核心，也是解题的重要手段。巧用圆锥曲线的第二定义（即离心率ace）解决问题往往更能明快、简捷。需注意的是利用圆锥曲线第二定义解题的关键是：题目中有动点到定点、定直线距离关系的条件或动点到两个定点距离间的关系的条件，联系实际问题，不能盲目使用。参考文献：[1]赵建勋,圆锥曲线第二定义解题例说,中学生数理化高二版,2006(11),8-9.[2]王剑红,杨素芳,巧用圆锥曲线定义解题,吕梁高等专科学校学报,2007(3),54-57.基金项目：泰州市社会发展计划项目(2011044);贵州省教育厅科研项目(2010093).作者简介：裔媛媛(1990-),女,学士,江苏盐城人,主要研究方向:中学数学解题研究;夏慧明(1981-),男,江苏泰州人,硕士,讲师,主要从事进化算法及中学数学解题方面研究.