离散作业第7章

第7章7-1：1，6（1）证明：在任何有向完全图中，所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。（6）证明：简单图的最大度小于结点数。7-2：1,2,3,4,7,9,10（1）在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。（2）若无向图G中恰有两个奇数度的结点，则这两个结点间必有一条路。（3）若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。（4）当且仅当G的一条边e不包含在G的闭迹中时，e才是G的割边。（7）在图7-2.9中给出了一个有向图，试求41vvd，，52vvd，及63vvd，。此有向图对应的关系是否可传递的？如果不是可传递的，试求此图的传递闭包。图7-2.9（9）一个有向图D是单侧连通的，当且仅当它有一条经过每一结点的路。（10）试证明徒弟每一个结点和每一条边，都只包含于一个弱分图中。7-3：1,2,3,4（1）求出图7-3.9中有向图的邻接矩阵A，找出从1v到4v长度为2和4的路，用计算2A，3A和4A来验证这个结论。图7-3.9（2）对于邻接矩阵A的简单有向图G，它的距离矩阵定义如下：ijd，如果jivvd，0ijd，对所有的ni,...,2,1kdij，这里k是使0)(kija的最小正整数确定由图7-3.9所示的有向图的距离矩阵，并指出1ijd是什么意义？（3）在图7-3.10中给出了一个有向图，试求该图的邻接矩阵，并求出可达性矩阵和距离矩阵。图7-3.10（4）写出如图3.11所示的图G的完全关联的矩阵，并验证其秩是否如定理7-3.2所述。图7-3.117-4：5,6,9（5）找一种9个a，9个b，9个c的圆形排列，使由字母},,{cba组成的长度为3的27个字的每个字出现一次。（6）a）画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。b）画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。c）画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。（9）证明如G具有汉密尔顿路，则对于V的每一个真子集S有1)(SSGW7-5：1,5（1）证明：若G是每一个面至少由)3(kk条边围成的连通平面图，则2)2(kvke，这里e，v分别是图G的边数和结点数。（5）如果可能的话，画出图7-5.8各图的平面图象，否则说明它包含一个与5K或3,3K在2度结点内同构的子图。图7-5.87-6：3,4,7（3）用韦尔奇鲍威尔法对图7-6.6各图着色，求图的着色数n。（a）（b）图7-6.6（4）证明：若图G是自对偶的，则22ve。（7）a）一个完全图6K的边涂上红色或蓝色。证明：对任何一种随意涂边的方法，总有一个完全图3K的所有边被涂上红色，或者一个3K的所有边被涂上蓝色。b）证明：六个人的人群中，或者有三个人互相认识或者有三个人彼此陌生。c）对于n各结点的完全图nK的边，随意涂上红色或蓝色，证明：如果有6条或更多条红色的边关联于一个结点，则存在着一个各边都是红色的4K或者一个蓝色的3K。如果有4条或更多条蓝色的边关联于一个结点，则存在一个红色的4K或者存在一个蓝色的3K。7-7：2,3,4（2）一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，问它有几个度数为1的结点。（3）一棵树有2n个结点度数为2，3n个结点度数为3…，4n个结点度数为k，问它有几个度数为1的结点。（4）设1T和2T是连通图G的两棵生成树，a是在1T不在2T中的一条边，证明存在边b，它在2T中但不在1T中，使得}{}){(1baT和}{}){(2abT都是G的生成树。7-8：5,6（5）给定权1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。求a）构造一颗最优二叉树。b）构造一颗最优三叉树。c）说明如何构造一颗最优t叉树。（6）构造一个与英文字母eyogdb,,,,,对应的前缀码，并画出该前缀码对应的二叉树，再用此六个字母构成一个英文短语，写出此短语的编码信息。