离散型随机变量及其分布列(家教版)

第1页共5页离散型随机变量及其分布列【课前自主导学】011．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为________，常用字母X，Y，ξ，η，¡­表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为____________．想一想电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？填一填一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则随机变量ξ的取值为________．2．离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，¡­，xi，¡­，xn，X取每一个值xi（i＝1,2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的________，简称为X的________，有时为了表达简单，也用等式________表示X的分布列．（2）离散型随机变量的分布列的性质①__________；②________．想一想如何求离散型随机变量的分布列？填一填设随机变量ξ的分布列P（ξ＝k5）＝ak（k＝1,2,3,4,5），则a的值为________．3．常见离散型随机变量的分布列（1）两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，其中p＝________称为成功概率．（2）超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为:(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC,其中min{,}mMn，且,,,,nNMNnMNN．称分布列X01…mP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.1)1(,NnNNMNnMDXNnMEX（3）二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好X01P1－pp第2页共5页发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．)1(,pnpDXnpEX填一填（1）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P（X＝0）等于________．（2）从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ012P__________________【核心要点研究】02【考点一】离散型随机变量的分布列的性质例1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0．20．10．10．3m求：（1）2X＋1的分布列；（2）|X－1|的分布列．奇思妙想：本题条件不变，求P（12X＋19）．【师说点拨】（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．（2）若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．【变式探究】[2013·岳阳模拟]设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P121－2qq2则q等于（）A．1B．1±22C．1－22D．1＋22【考点二】求离散型随机变量的分布列例2[2012·陕西高考]某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：第3页共5页从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．【变式探究】一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6．（1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（3）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．【考点三】超几何分布例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．【师说点拨】1．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．【变式探究】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．【课课精彩无限】03离散型随机变量ξ的取值出错致误【选题·热考秀】]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．第4页共5页【经典演练提能】041．[2013·广东模拟]设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a·（13）i，i＝1,2,3，则a的值为（）A．1B．913C．1113D．27132．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是（）A．P（X＝2）B．P（X≤2）C．P（X＝4）D．P（X≤4）3．[2013·金版原创]设随机变量X等可能取值1,2,3，¡­，n，若P（X4）＝0．3，则（）A．n＝3B．n＝4C．n＝9D．n＝104．[2013·山西联考]从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是（）A．3235B．1235C．335D．2355．[2012·山东烟台]已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝12k，k＝1,2，…，则P（2X≤4）等于（）A．316B．14C．116D．516【限时规范特训】05（时间：45分钟分值：100分）一、选择题1．世界杯组委会预测某支足球队在2014年巴西世界杯中获得的名次可用随机变量ξ表示，ξ的概率分布规律为P（ξ＝n）＝ann＋1（n＝1,2,3,4），其中a为常数，则a的值为（）A．23B．54C．45D．562．2012年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是（）A．Y的取值为0,1,2,3B．P（Y＝0）＋P（Y＝1）＋P（Y＝2）＋P（Y＝3）＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300YD．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y3．已知一随机变量的分布列如下，且E（ξ）＝6．3，则a值为（）ξ4a9P0．50．1bA．5B．6C．7D．84．从1,2,3,4,5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E（ξ）＝（）A．3B．4．5C．5D．65．一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x表示取出的红球个数，P（x＝1）的值为（）A．1220B．2755C．27220D．21256．已知随机变量ξ的分布列如图所示，若η＝3ξ＋2，则E（η）＝（）ξ123P12t13A．116B．152C．112D．332第5页共5页二、填空题7．设随机变量的概率分布为：ξ012Pp3p31－23p则ξ的数学期望的最小值是________．8．装有某种产品的盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至抽到正品为止，已知抽取次数ξ为随机变量，则抽取次数ξ的数学期望E（ξ）＝________．9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0）＝112，则随机变量X的数学期望E（X）＝________．三、解答题10．某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下：第一班车：在8∶00,8∶20,8∶40发车的概率分别为14，12，14；第二班车：在9∶00,9∶20,9∶40发车的概率分别为14，12，14．两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客8∶10到达车站乘车．求：（1）该旅客乘第一班车的概率；（2）该旅客候车时间（单位：分钟）的分布列；（3）该旅客候车时间的数学期望．11．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．12．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元/小时（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E（X）．