离散型随机变量的期望值和方差测试卷524

离散型随机变量的期望值和方差测试卷一．选择题1．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=1235C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=16352．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－kD.P（ξ=k）=Ck10·0.99k·0.0110－k3．已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A.71B.61C.51D.414．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A.0.2B.0.8C.0.196D.0.8045．设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.16．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4二．解答题7．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.8．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________.9．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好.三．解答题10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ－101P211－2qq211．人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?12．把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ.13．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差..14．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.15．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.16．证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过41.17．将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.18．若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差Dξ的最大值；（2）求ED12的最大值.19．袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.参考答案：1．B2．A3．A4．C5．B6．C7．21；58．1.29．乙三．解答题10．解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以,1,1210,1212122qpqq解得q=1－22.于是，ξ的分布列为ξ－101P212－123－2所以Eξ=（－1）×21+0×（2－1）+1×（23－2）=1－2，Dξ=［－1－（1－2）］2×21+（1－2）2×（2－1）+［1－（1－2）］2×（23－2）=2－1.11.解：设ξ为盈利数，其概率分布为ξaa－30000a－10000P1－p1－p2p1p2且Eξ=a（1－p1－p2）+（a－30000）p1+（a－10000）p2=a－30000p1－10000p2.要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a＞30000p1+10000p2.12.剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A44=4!，∴P（ξ=0）=44!4=646；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为C14C24A33，∴P（ξ=1）=6436.同样可分析P（ξ=2），P（ξ=3）.解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P（ξ=0）=4444A=646，P（ξ=1）=43324144ACC=6436，P（ξ=2）=422242424244ACCCC=6421，P（ξ=3）=4144C=641.∴ξ的分布列为ξ0123P64664366421641∴Eξ=6481，Dξ=2641695.13.解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B（50，0.8），η=2ξ，故成绩的期望为Eη=E（2ξ）=2Eξ=2×50×0.8=80（分）；成绩的标准差为ση=D=)2(D=D4=22.08.050=42≈5.7（分）14.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P（ξ=5）=473314CCC=354，P（ξ=6）=472324CCC=3518，P（ξ=7）=471334CCC=3512，P（ξ=8）=470344CCC=351，Eξ=5×354+6×3518+7×3512+8×351=35220=744.15.解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3），则P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3.由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A1，A2，A3相互独立，可见P（ξ=0）=P（1A2A3A）=0.9×0.8×0.7=0.504；P（ξ=1）=P（A12A3A）+P（1AA23A）+P（1A2AA3）=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；P（ξ=2）=P（A1A23A）+P（A12AA3）+P（1AA2A3）=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；P（ξ=3）=P（A1A2A3）=0.1×0.2×0.3=0.006.∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，Dξ=Eξ2－（Eξ）2=1×0.398+4×0.092+9×0.006－0.62=0.82－0.36=0.46.16.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则P（ξ=0）=1－p，P（ξ=1）=p，Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（1－p）·（0－p）2+p（1－p）2=p（1－p）≤（21pp）2=41.所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41.17.解：设ξ为巧合数，则P（ξ=0）=44A9=249，P（ξ=1）=4414A2C=31，P（ξ=2）=4424AC=41，P（ξ=3）=0，P（ξ=4）=4444AC=241，所以Eξ=0×249+1×31+2×41+3×0+4×241=1.所以巧合数的期望为1.18.解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2.（1）Dξ=p－p2=－（p－21）2+41，∵0p1，∴当p=21时，Dξ取得最大值为41.（2）ED12=ppp1)(22=2－（2p+p1），∵0p1，∴2p+p1≥22.当且仅当2p=p1，即p=22时，ED12取得最大值2－22.19．解：ξ的概率分布为ξ123…nP)1(2nn)1(4nn)1(6nn…)1(2nnnEξ=1×)1(2nn+2×)1(4nn+3×)1(6nn+…+n×)1(2nnn=)1(2nn（12+22+32+…+n2）=312n.知能巩固提升(十七)/课后巩固作业(十七)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2012·潍坊高二检测)ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ＞c)=a,则P(ξ＞4-c)等于()(A)a(B)1-a(C)2a(D)1-2a2.正态分布N(0,1)在区间(-2，-1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()[来源:Zxxk.Com](A)P1＝P2(B)P1＜P2(C)P1＞P2(D)不确定3.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10,12)，则该随机变量的方差等于()(A)10(B)100(C)2(D)24.某厂生产的零件外直径X～N(8.0，0.0225),单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为()(A)上、下午生产情况均为正常(B)上、下午生产情况均为异常(C)上午生产情况正常，下午生产情况异常(D)上午生产情况异常，下午生产情况正常二、填空题(每小题4分，共8分)5.均值为2，标准差为2的正态分布的正态密度函数是_______.6.(2012·黄冈高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξc＋1)＝P(ξc-1)，则c的值为[m]三、解答题(每小题8分，共16分)7.(2012·天水高二检测)某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ-σξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σξ≤μ+2σ)=0.9544).8.(易错题)已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其正态密度函数图象如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的正态曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比.【挑战能力】(10分)某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路较长但不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16).有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？答案解析1.【解析】选B.∵ξ～N(2,σ2),∴μ=2,又∵c与4-c关于μ=2对称，故P(ξ＞4-c)=P(ξ≤c)=1-P(ξ＞c)=1-a.2.【解析】选A.根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(-2，-1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等.3.【解析】选C.由正态分布密度曲线上的最高点为1(10,)2知2112DX.22，＝＝4.【解题指南】利用3σ原则对本题作出判断.【解析】选C.根据3σ原则，在(8-3×0.15,8+3×0.15]即(7.55，8.45]之外时为异常.结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常.5.【解析】∵均值为2，标准差为2,又22(x)21fxe2＝，∴2(x2)41f(x)e.2【误区警示】本题在求解过程中，常因对正态曲线的函数解析式掌握不牢而出错.6.【解析】c＋1与c-1关于ξ＝2对称，c1c12＝2，∴c＝2.【变式训练】已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝_____时，达到最高点.【解析】由于正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.7.【解析】由题意得：μ=70,σ=10，P(μ-σξ≤μ+σ)=0.6826