离散数学作业5答案1

★形成性考核作业★1离散数学作业5离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。一、单项选择题1．设图G的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G的边数为(D)．A．5B．6C．3D．42．设图G＝V,E，则下列结论成立的是(C)．A．deg(V)=2EB．deg(V)=EC．EvVv2)deg(D．EvVv)deg(3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如下图所示，则下列结论成立的是(A)．A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的4．给定无向图G如右图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（B）．A．{b,d}B．{d}姓名：学号：得分：教师签名：abdce4题图★形成性考核作业★2C．{a,c}D．{b,e}5．图G如右图所示，以下说法正确的是(C)．A．{(a,c)}是割边B．{(a,c)}是边割集C．{(b,c)}是边割集D．{(a,c),(b,c)}是边割集6．无向图G存在欧拉通路，当且仅当(D)．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点7．若G是一个欧拉图，则G一定是(C)．A．平面图B．汉密尔顿图C．连通图D．对偶图8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=(A)．A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋29．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的(A)条边，才能确定G的一棵生成树．A．1mnB．mnC．1mnD．1nm10．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为（B）．A．8B．5C．4D．3二、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是{f,c}．3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数等于边数的两倍．4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度等于出度．5．设G=V，E是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．6．设无向图G＝V，E是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有W(G-V1)V1．7．设完全图Kn有n个结点(n2)，m条边，当当m=2n时，Kn中存在欧拉回路．8．设图GV,E，其中Vn，Em．则图G是树当且仅当G是连通的，abcde5题图★形成性考核作业★3且mn-1．9．连通无向图G有6个顶点9条边，从G中删去4条边才有可能得到G的一棵生成树T．10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i=4．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．(1)如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．(2)图G1，(如下图所示)是欧拉图．解：(1)错，图G是无向图，当且仅当G是连通的，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定G图是否是连通的。(2)对，由欧拉图的定理“无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点”得到，这里可找到如下一条欧拉回路v4v5v2v6v4v1v2v3v4。2．图G2（如下图所示）不是欧拉图而是汉密尔顿图．解：对，由欧拉图的定理“无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点”，这里结点a,b,d,f的度数都为奇数；它是汉密尔顿图，因为找到了如下一条汉密尔顿回路abefgdca。3．(1)设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．(2)设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．解：(1)错，没有提到面。(2)对，由欧拉定理得到：结点-边+面=2，即为连通平面图，这里6-11+7=2★形成性考核作业★44．下图给出的树是否同构的．解：(a)不与(b)、(c)同构，但(b)、(c)同构。因为由图的同构相关联，得到同构的必要条件：(1)结点数目相同；(2)边数相同；(3)度数相同的结点数目相同。四、计算题1．设G=V，E，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)}，试(1)给出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出其补图的图形．解：(1)G的图形如下(2)G=0110010110110110110000100(3)v1度数为1，v2度数为2，v3度数为4，v4度数为3，v5度数为2(4)其补图的图形如下2．图G=V,E，其中V={a,b,c,d,e,f}，E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e),(d,f),(e,f)}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．(1)画出G的图形；(2)写出G的邻接矩阵；(3)求出G权最小的生成树及其权值．★形成性考核作业★5解：(1)G的图形如下(2)G=011000101111110010010001011001010110(3)最小生成树是{(a,e),(e,c),(b,d),(d,f),(a,b)}权值为1+1+2+3+5=123．已知带权图G如右图所示．(1)求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值．解：(1)最小生成树为{1,3,2,7,5}(2)权值为1+2+3+5+7=184．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．解：(1)相应的最优二叉树图如下★形成性考核作业★6(2)由图得到最优二叉树的权为：65五、证明题1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．证明：由于n是大于等于3的奇数，令n=2m+1，则完全图Kn每个结点的度数都是偶数2m，G是一个n阶无向简单图，G是G相对于完全图Kn的一个补图，若G中某个结点的度数为奇数2s+1，则它的补图G中该结点的度数为2m-(2s+1)=2(m-s-1)+1，也为奇数，所以图G有多少个度数为奇数的结点，则它的补图G中也有相同个的度数为奇数的结点。即图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等。2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由于是连通图并且有k个奇数度的结点，根据定理“一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数。”，就必须对图G中k个奇数度的结点添加1个度数使它成为偶数度数，一共添加了k个度数，每两个度数成为一条边，k个度数变成了2k条边。所以在图G中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图。