离散数学实验指导书及其答案

实验一命题逻辑公式化简【实验目的】加深对五个基本联结词（否定、合取、析取、条件、双条件）的理解、掌握利用基本等价公式化简公式的方法。【实验内容】用化简命题逻辑公式的方法设计一个表决开关电路。实验用例：用化简命题逻辑公式的方法设计一个5人表决开关电路，要求3人以上（含3人）同意则表决通过（表决开关亮）。【实验原理和方法】（1）写出5人表决开关电路真值表，从真值表得出5人表决开关电路的主合取公式（或主析取公式），将公式化简成尽可能含五个基本联结词最少的等价公式。（2）上面公式中的每一个联结词是一个开关元件，将它们定义成C语言中的函数。（3）输入5人表决值（0或1），调用上面定义的函数，将5人表决开关电路真值表的等价公式写成一个函数表达式。（4）输出函数表达式的结果，如果是1，则表明表决通过，否则表决不通过。参考代码：#includestdio.hintvote(inta,intb,intc,intd,inte){//五人中任取三人的不同的取法有10种。if(a&&b&&c||a&&b&&d||a&&b&&e||a&&c&&d||a&&c&&e||a&&d&&e||b&&c&&d||b&&c&&e||b&&d&&e||c&&d&&e)return1;elsereturn0;}voidmain(){inta,b,c,d,e;printf(请输入第五个人的表决值（0或1，空格分开）：);scanf(%d%d%d%d%d,&a,&b,&c,&d,&e);if(vote(a,b,c,d,e))printf(很好，表决通过！\n);elseprintf(遗憾，表决没有通过！\n);}//注：联结词不定义成函数，否则太繁实验二命题逻辑推理【实验目的】加深对命题逻辑推理方法的理解。【实验内容】用命题逻辑推理的方法解决逻辑推理问题。实验用例：根据下面的命题，试用逻辑推理方法确定谁是作案者，写出推理过程。（1）营业员A或B偷了手表；（2）若A作案，则作案不在营业时间；（3）若B提供的证据正确，则货柜末上锁；（4）若B提供的证据不正确，则作案发生在营业时间；（5）货柜上了锁。【实验原理和方法】（1）符号化上面的命题，将它们作为条件，营业员A偷了手表作为结论，得一个复合命题。（2）将复合命题中要用到的联结词定义成C语言中的函数，用变量表示相应的命题变元。将复合命题写成一个函数表达式。（3）函数表达式中的变量赋初值1。如果函数表达式的值为1，则结论有效，A偷了手表，否则是B偷了手表。用命题题变元表示：A:营业员A偷了手表B:营业员B偷了手表C:作案不在营业时间D:B提供的证据正确E:货柜末上锁则上面的命题符号化为(A||B)&&(!A||C)&&(!D||E)&&(D||!C)&&!E要求找到满足上面式子的变元A，B的指派便是结果。C语言算法：intA,B,C,D,E;for(A=0;A=1;A++)for(B=0;B=1;B++)for(C=0;C=1;C++)for(D=0;D=1;D++)for(E=0;E=1;E++)if((A||B)&&(!A||C)&&(!D||E)&&(D||!C)&&!E)printf(A=%d,B=%d\n,A,B);}/*实验结果是：A=0，B=1，即B偷了手表*/实验三集合运算【实验目的】掌握用计算机求集合的交、并、差和补运算的方法。【实验内容】编程实现集合的交、并、差和补运算。【实验原理和方法】（1）用数组A，B，C，E表示集合。输入数组A，B，E（全集），输入数据时要求检查数据是否重复（集合中的数据要求不重复），要求集合A，B是集合E的子集。以下每一个运算都要求先将集合C置成空集。（2）二个集合的交运算：把数组A中元素逐一与数组B中的元素进行比较，将相同的元素放在数组C中，数组C便是集合A和集合B的交。C语言算法：for(i=0;im;i++)for(j=0;jn;j++)if(a[i]==b[j])c[k++]=a[i];（3）二个集合的并运算：把数组A中各个元素先保存在数组C中。将数组B中的元素逐一与数组B中的元素进行比较，把不相同的元素添加到数组C中，数组C便是集合A和集合B的并。C语言算法：for(i=0;im;i++)c[i]=a[i];for(i=0;in;i++){for(j=0;jm;j++)if(b[i]==c[j])break;if(j==m){c[m+k]=b[i];k++;}}（4）二个集合的差运算：把数组A中各个元素先保存在数组C中。将数组B中的元素逐一与数组B中的元素进行比较，把相同的元素从数组C中删除，数组C便是集合A和集合B的差A-B。C语言算法：for(i=0;im;i++)c[i]=a[i];for(i=0;in;i++)for(j=0;jm;j++)if(b[i]==c[j]){for(k=j;km;k++)c[k]=c[k+1];/*移位*/m--;break;}（5）集合的补运算：将数组E中的元素逐一与数组A中的元素进行比较，把不相同的元素保存到数组C中，数组C便是集合A关于集合E的补集。求补集是一种种特殊的集合差运算。实验四二元关系及其性质【实验目的】掌握二元关系在计算机上的表示方法，并掌握如果判定关系的性质。【实验内容】编程判断一个二元关系是否为等价关系，如果是，求其商集。等价关系：集合A上的二元关系R同时具有自反性、对称性和传递性，则称R是A上的等价关系。【实验原理和方法】（1）A上的二元关系用一个n×n关系矩阵R=nnijr)(表示，定义一个n×n数组r[n][n]表示n×n矩阵关系。（2）若R对角线上的元素都是1，则R具有自反性。C语言算法：inti,flag=1;for(i=0;iN&&flag;i++)if(r[i][i]!=1)flag=0;如果flag=1，则R是自反关系（3）若R是对称矩阵，则R具有对称性。对称矩阵的判断方法是：RrRrjiij有,。C语言算法：inti,j,flag=1;for(i=0;iN&&flag;i++)for(j=i+1;jN&&flag;j++)if(r[i][j]&&r[j][i]!=1)flag=0;如果flag=1，则R是对称关系（4）关系的传递性判断方法：对任意i，j，k，若111ikjkijrrr有且。C语言算法：inti,j,k,flag=1;for(i=0;iN&&flag;i++)for(j=0;jN&&flag;j++)for(k=0;kN&&flag;k++)if(r[i][j]&&r[j][k]&&r[i][k]!=1)flag=0;如果flag=1，则R是传递关系（5）求商集的方法：商集是由等价类组成的集合。已知R是等价关系，下面的算法是把等价类分行打印出来。C语言算法：inti,j,flag=1;inta[N];for(i=0;iN;i++)a[i]=i+1;/*i代表第i个元素*/for(i=0;iN;i++){if(a[i]){printf({);for(j=0;jN;j++)if(r[i][j]&&a[j]!=0){printf(%d,a[j]);/*打印和第i个元素有关系的所有元素*/a[j]=0;}printf(}\n);}}实验五关系闭包运算【实验目的】掌握求关系闭包的方法。【实验内容】编程求一个关系的闭包，要求传递闭包用warshall方法。【实验原理和方法】设N元关元系用r[N][N]表示，c[N][N]表示各个闭包，函数initc(r)表示将c[N][N]初始化为r[N][N]。（1）自反闭包：AIRRr)(。C语言算法：将关系矩阵的对角线上所有元素设为1。initc(r);/*将关系矩阵的对角线上所有元素设为1*/for(i=0;iN;i++)c[i][i]=1;（2）对称闭包：RRRs)(C语言算法：在关系矩阵的基础上，若1,1jiijrr令。initc(r);for(i=0;iN;i++)for(j=0;jN;j++)if(c[i][j])c[j][i]=1;/*将关系矩阵的对角线上所有元素设为1*/（3）传递闭包：nRRRRt2)(，或用warshall方法。方法1：nRRRRt2)(，下面求得的关系矩阵T=nnijb)(就是)(Rt。intb[N][N];initc(r);/*用c装好r*/for(m=1;mN;m++)/*得r的m次方,用c装好*/{for(i=0;iN;i++)for(j=0;jN;j++){b[i][j]=0;for(k=0;kN;k++)b[i][j]+=c[i][k]*r[k][j];if(b[i][j])b[i][j]=1;}initc(b);/*把r的m次方b赋给c保存*/方法2：warshall方法initc(r);/*用c装好r*/for(i=0;iN;i++)for(j=0;jN;j++)if(c[j][i])for(k=0;kN;k++){c[j][k]=c[j][k]+c[i][k];if(c[j][k])c[j][k]=1;}实验六欧拉图判定和应用【实验目的】掌握判断欧拉图的方法。【实验内容】判断一个图是不是，如果是，求出所有欧拉路【实验原理和方法】（1）用关系矩阵R=nnijr)(表示图。（2）对无向图而言，若所有结点的度都是偶数，则该图为欧拉图。C语言算法：flag=1;for(i=1;i=n&&flag;i++){sum=0;for(j=1;j=n;j++)if(r[i][j])sum++;if(sum%2==0)flag=0;}如果flag该无向图是欧拉图（3）对有向图而言，若所有结点的入度等于出度，则该图为欧拉图。C语言算法：flag=1;for(i=1;i=n&&flag;i++){sum1=0;sum2=0;for(j=1;j=n;j++)if(r[i][j])sum1++;for(j=1;j=n;j++)if(r[j][i])sum2++;if(sum1%2==0||sum2%2==0)flag=0;}如果flag该有向图是欧拉图（4）求出欧拉路的方法：欧拉路经过每条边一次且仅一次。可用回溯的方法求得所有欧拉路。C语言算法：intcount=0,cur=0,r[N][N];//r[N][N]为图的邻接矩阵，cur为当前结点编号，count为欧拉路的数量。intsequence[M];//sequence保留访问点的序列，M为图的边数输入图信息;voidtry1(intk)//k表示边的序号{inti,pre=cur;//j保留前一个点的位置,pre为前一结点的编号for(i=0;iN;i++)if(r[cur][i])//当前第cur点到第i点连通{//删除当前点与第i点的边，记下第k次到达点i，把第i个点设为当前点r[cur][i]=0;cur=sequence[k]=i;if(kM)try1(k+1);//试下一个点elseprt1();//经过了所有边，打印一个解//上面条件不满足，说明当前点的出度为0，回溯，试下一位置r[pre][i]=1;cur=pre;}}实验七最优二叉树的应用【实验目的】掌握求最优二叉树的方法。【实验内容】最优二叉树在通信编码中的应用。要求输入一组通信符号的使用频率，求各通信符号对应的前缀码。【实验原理和方法】（1）用一维数组f[N]存贮通信符号的使用频率，用求最优二叉树的方法求得每个通信符号的前缀码。（2）用链表保存最优二叉树，输出前缀码时可用树的遍历方法。#includestdio.h#includestdlib.h#defineN13structtree{floatnum;structtree*Lnode;structtree*Rnode;}*fp[N];//保存结点chars[2*N];//放前缀码voidinite_node(floatf[],intn)//生成叶子结点{inti;structtree*pt;f