离散数学答案第九章特殊代数系统

第九章特殊的代数系统习题9.11．解⑴是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的，所以，,N是一个代数系统，另一方面，,,,Ncba有cbacbacba,,max,max，而cbacbacba,,max,max，因此，cbacba，所以，运算“”满足结合律的，故,N是半群；⑵是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的，所以，,N是一个代数系统，另一方面，Ncba,,，有ccbcba，而ccacba，则cbacba，所以，运算“”满足结合律，故,N是半群；⑶是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的，所以，,N是一个代数系统，另一方面，Ncba,,，有abccabcabcba4)2(2)2(，abcbcabcacba422)2(，即cbacba，所以，运算“”满足结合律，故,N是半群。⑷不是半群。虽然，二元运算“”在N上是封闭的，即,N是一个代数系统，但是对于5，3，6，因为，4635635635，而2635635)63(5，即)63(5635，所以，运算“”不满足结合律，故,N不是半群。2．解⑴正确。因为，运算显然封闭。⑵正确。abcbcacabcbacabbacba)()(，bcacabcbabccbacba)()(，即是cbacba，所以满足结合律。故,R是半群。⑶Na，有aaaa000，又有,00aaaa即存在单位元是0，故,R是独异点。3．解431,,fff都不能使{a,b},构成独异点，因为没有一个函数存在单位元。而2f的单位元是a,{a,b},2f能构成独异点。4．解⑴是，因为M={2,3}关于min是封闭的，故M,min是S,min的子代数；⑵M,min是S,min的子半群；⑶不是，因为S的单位元是4，而4M,故M,min不是S,min的子独异点。习题9.21．解⑴是，因为实数乘法满足结合律，存在单位元a0=1，任意元素a存在逆元素a-1；⑵是，因为有理数乘法满足结合律，存在单位元1，任意元素a存在逆元素a-1；（3）是，因为复数乘法满足结合律，存在单位元1,任意元素z的逆元素是z共轭复数；（4）是，因为多项式的加法满足结合律，多项式关于加法的单位元是0多项式，任意元素P(x)的逆元素是-P(x).（5）是,因为向量的加法满足结合律，n维实向量关于向量的加法的单位元是n维零向量，任意的n维实向量的逆元素是-。2．解可以构成群。⑴因为，对于任意的2)2()(,,,zyxzyxIzyx)(2)2(4zyxzyxzyx，所以，运算满足结合律；，⑵关于运算有单位元2，这是因为对于任意的,Ia都有aaa222，且aaa222；⑶对于任意的aI，若要a有逆元b，需要有ab=ba=2，即需要a+b-2=b+a-2=2，事实上只要b=a-4即可。因此，对于任意的aI，a都可逆，且a的逆元是a-4。综上所述，由⑴，⑵，⑶得出结论I与运算能构成群。3．证明因为对于任意的1,aaGa，所以a可逆,且aa1，因此，G,*是群。要证明G,*是Abel群，只需证明运算满足交换律，事实上，因为，对于任意的1,1,,yyxxGyx，所以)()(1)()(yxyxyyxx，因此，由结合律则有1fbaaaaaba2fbabaabba3fbaabaaba4fbabababa表1yyxxyxyx)()(，再由消去律得：yxxy。故G,*是Abel群。4．证明当1110bacbax时，因为，abbacbaaabxa)(1110=cb，所以，1110bacbax是方程cbabxa的解。下面方程的解是唯一的。对于,,,Gcba若cbabxa解y，即cbabya，由于群中的任何元素都可逆，则对上式两边同时左乘a-1，并两边同时右乘a-1b-1则得，)()()()(111111bacbabaabyaa由结合律则有，111bacbay。证毕。5．证明设1是群G的单位元，若G中存在幂等元a，即aaa因为群中的任何元素都可逆，因此，a也可逆，则有aaaaaaaaaa1)()(1111故单位元为G中惟一的幂等元。6．解答案是A，因为存在同态映射f:RR-{0},f(x)=ex，但不存在同构映射。习题9.31．解1，5，7，11为其生成元，任何与12互素的正整数都可作N12,+12的生成元。2．证明设H是循环群G的子群，且G的生成元是a。若H={e}，则H是循环群。若H≠{e}，由于H非空，则必存在正整数m0使am∈H。设m是使am∈H的最小的正整数，若对于任何的an∈H(nN)，则由带余除法有n=mk+r,0≤rm则有ar=an-mk=ana-mk=an(am)k∈H，而因为m是使am∈H的最小的正整数，且0≤rm，所以r=0。这样n=mk,an=amk=(am)k，再由an∈H的任意性知，H中的任意元素都是am的幂，故H=（am）,即循环群的任何子群都是循环群。习题9.41．证明①显然HG；②证明运算*关于H的封闭性。任取a,bH，对于任意的xG有bxxbaxxa,，则)()()()()()(baxbaxbxabxaxbaxba，因此，Hba；③设1是G中的单位元，因为对于任意的xG有xx11故，H1；④任取aHG，对于任意的xG，则由H的定义有,x*a=a*x，由于群的元素都有逆元，因此a也有逆元。等式x*a=a*x两边同时左乘、并同时右乘a的逆元a-1则有，1111)()(axaaaaxa，即11axxa，亦即Hx1。综合①、②、③、④，H,*是G,*的子群。2．解群,G真子群有如下4个：{1},，{1,5},，{1,7},，{1,11},。习题9.51．解⑴设0110,00,00,1001CiiBiiAE，则集合G={E,A,B,C,-E,-A,-B,-C}，G关于运算的运算表如下。表2G关于运算的运算表EABC-E-A-B-CEEABC-E-A-B-CAA-E-CB-AEC-BBBC-E-A-B-CEACC-BA-E-CB-AE-E-E-A-B-CEABC-A-AEC-BA-E-CB-B-B-CEABC-E-A-C-CB-AEC-BA-E由表1可以看出G关于运算是封闭的。而运算是矩阵的乘法运算，因此满足结合律。由表1可以看出G关于运算的单位元是E。由表1可以进一步看出关于运算，G中的每一个元素都有逆元，E-1=E,A-1=-A,B-1=-B,C-1=-C,(-E)-1=-E,(-A)-1=A,(-B)-1=B,(-C)-1=C。因此，G,是一个群。⑵G的所有子群是：{E},,{E,-E},,{E,A,-A,-E},,{E,B,-B,-E},,{E,C,-C,-E},。⑶证明显然{E},，{E,-E},是正规子群，下面证明{E,A,-A,-E},是正规子群。设H={E,A,-A,-E}，显然有EH=HE=(-E)H=H(-E)=AH=HA=(-A)H=H(-A)={E,A,-A,-E}。又BH={B,C,-C,-B}，HB={B,-C,C,-B}=BH，因此有H(-B)={B,-C,C,-B}=(-B)H。同理可得，CH=HC=H(-C)=(-C)H={C,-B,B,-C}。综上所述，对于任意的aG都有aH=Ha，即H,是正规子群。同理可证，{E,B,-B,-E},,{E,C,-C,-E},也是正规子群。2．解5，{3，7，11}，{0，4，8}。习题9.61．解I[i]对于普通加法和乘法能构成环。这是因为：⑴显然I[i]对加法+是封闭的，而复数的加法是满足交换律和结合律的，I[i],+的单位元是0=0+0i，任意元素a+bi的逆元是-a-bi。所以，I[i],+是可交换群。⑵I[i]对复数的加法是封闭的，且复数的乘法是满足结合律的，即I[i],是半群。⑶复数的乘法对复数的加法满足分配律。综合⑴⑵⑶，I[i]对于普通加法和乘法能否构成环。2．证明⑴首先证明,,},2{Ibaba是一个环。设},2{IbabaR对于任意的2ba,Rdc2，因为，a,b,c,dI，所以，(a+c)，(b+d)，(ac+2bd)，(ad+bc)I，因此，)2()2(dcbaRdbca2)()(，)2)(2(dcba=)2(bdac2)(bcadR，故R对于加法和乘法都是封闭的。另一方面，实数的普通加法满足结合律和交换律，且关于加法单位元是0，每个元素都有逆元，就是相反数。实数的普通乘法也满足结合律。综合上述R,+,是一个环。⑵因为，实数的普通乘法也满足交换律，且R关于乘法有单位元1，又对于2ba,Rdc2，若两者都不为零，则0)2)(2(dcba，即R,+,无零因子。综合⑴⑵可知，R,+,是一个整环。3．证明设F={a+bia,bQ}，对于任意的a+bi,c+diF，因为，a,b,c,dQ，所以，a+c,b+d,ac-bd,ad+bcQ，因此，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iF，且(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iF，即F关于加法和乘法运算都是封闭的；而普通的加法和乘法都满足结合律和交换律；又关于加法+，F中有单位元0=0+0i，且每个元素a+bi都有逆元-a-bi。故F,+,是一个环。另一方面，F,中有单位元1=1+0i；又对于任何的非零元a+bi，因为，a,b不全为零，所以，a2+b20，因此对于任何的非零元a+bi都有逆元。综上所述，F,+,是一个域。复习题九1．解⑴G,*是半群，但不是独异点，更不是群；⑵不是半群；⑶不是半群，⑷是群，其单位元是1001。2．证明对于任意的,,,Rcba有cabbacba)()(abcbcaccabba同时，abcacbcabcbacba)(，故)()(cbacba，所以满足结合律，故是R,*半群；又存在R0，且aaaaa0000故0是单位元。综上所述，R,*是独异点。3．证明对于任意的Syx,，因为，yaxyx，其中,Sa为;S的二元运算，而,S是半群，又Sa，所以，Syax，即,S对运算是封闭的。又因为,S是半群，所以，,S有结合律，即对于任意的Szyx,,有，)()()()()(zyxzayxzayaxzayaxzyx故S,*满足结合律，综上所述，S,*是半群。4．证明对于任意Scba,,，由于S,*是半群，所以，S,*有结合律，a*c=c*a且b*c=c*b，则)()()()()()(bacbacbcabcacbacba。5．证明对于任意Sba,，