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第5章一.填空题1.群中有唯一的（）。2.如果群运算是可交换的，则群为（）。3.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。4.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。5.设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（）。（填写可交互/不可交换）6.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称二元运算*在A上是（）。7.设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，则二元运算★在A上是（）。（填写可结合/不可结合）8.设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。9.设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x,x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满足（）。10.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。11.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。12.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。13.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl=x，则称er为A中关于运算*的（）。14.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*or=x，则称or为A中关于运算*的（）。15.如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（）。16.如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（）。17.设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的（）。18.对于实数域上的乘法元算，每个元素（）逆元。（填写一定有/不一定有）19.对于实数域上的加法运算，（）零元。（填写存在/不存在）20.对于整数域上的加法运算，（）么元。（填写存在/不存在）21.对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么S,*叫做（）。22.正整数上的加法运算（）半群。（填写是/不是）23.实数域上的除法运算（）半群。（填写是/不是）24.整数域上的加法运算（）群。（填写是/不是）25..如果群的运算满足交换率，则这个群叫（）。26.循环群（）生成元。(填写必有/不一定有)27.设f是由A,★到B,*的一个同态，如果f(),则称f为满同态的。28.设f是由A,★到B,*的一个同态，如果f(),则称f为同构的。29.设f是群A,★到B,*的一个同态映射，如果e’是B中的么元，Ker(f)=()，则称Ker(f)为同态映射f的核。30.设R是代数系统A,★上的一个等价关系，如果当a,b,c,d∈R时，蕴含着a★c,b★d∈R，则称R为A上关于★的（）。二.选择题1.下面那个性质不是群必有的？（）A)运算的封闭性B)幺元C)零元D)运算的交换性2.设集合A={1,2,…,10},下面定义的那个二元运算*关于A不封闭？（）A)x*y=max(x,y)B)x*y=质数p的个数，使得x=p=yC)x*y=min(x,y)D)x*y=((x+y)mod10)+13.S,*是一个半群，如果S是一个有限集，则必有（）A)幺元B)零元C)等幂元D)不确定4.下面那个代数系统表示的范围最大？（）A)群B)半群C)阿贝尔群D)独异点5.同构关系必然是一个（）A）等价关系B)偏序关系C)同余关系D)同态关系6.在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A)a*b=a-bB)a*b=max{a,b}C)a*b=a+2bD)a*b=|a-b|7.同构关系必然是一个（）A．等价关系B.偏序关系C.同余关系D.相容关系8.设G,*是群，a,b∈G,则下列结论不正确的是（）A．(a*b)-1=b-1*a-1B．a*x=b有唯一解C．a*x=a*y,则x=yD．a*b=b*a9.下面那个运算不满足运算的封闭性？（）A）自然数上的加法B）有理数上的乘法C）1到10之间的模11加法D）0到9之间的模10加法10.下面那个不满足结合律？（）A)自然数上的加法B）有理数上的乘法C）自然数上的max(a,b)D)自然数上的减法11.对于代数系统Nk,+k，Nk={0,1,…,k-1}，+k是定义在Nk上的模k加法，下面说法不对的是：（）A）有零元B)有么元C)每个元素都有逆元D）Nk,+k是半群12.下面关于半群的说法正确的是（）A）必有零元B）必有么元C）必然服从交换律D)必然服从结合律13.若果S,*为半群，且S是有限集合，则以下说法正确的是（）A)必有a∈S,且a*a=aB)必有a∈S,且a*b=bC)必有零元D）必有零元14.关于独异点，下列说法正确的是（）A)必有零元B)必有等幂元C）必有么元D)必然满足交换律15.以下说法不正确的是（）A)群表示范围比半群小B)交换群表示范围比半群小C)阿贝尔群表示范围比群小D）广群表示的范围比半群小16.下面关于群的说法不正确的是（）A）必有零元B）必有么元C）每个必然有逆元D)必然服从结合律17.下面那个是群？（）A)自然数上的乘法B)实数域上的乘法C)0到9之间的模10加法D)0到9之间的模10乘法18.下面关于群G,*的说法不正确的是（）A)对于任a,b∈G,存在唯一的x∈G,使得a*x=bB)对于任a,b,c∈G，若有a*b=a*c,则必有b=cC)任a∈G，必有唯一的x∈G,使得a*x=e,e为么元D)任a∈G，必有唯一的x∈G,使得a*x=x,x为零元19.下面关于群的说法正确的是（）A)没有等幂元B)有1个等幂元C)有2个等幂元D)和群的阶数有关20.设G,*为一个群，下面关于G的子群的说法正确的是（）A)如果S是G的非空子集且*在S上是封闭的，则S,*就是G,*的子群B)如果S是G的非空子集且含有么元，则S,*就是G,*的子群C)如果S是G的非空子集，且对于任意S中的连个元素a,b都有a*b-1∈G,则S,*就是G,*的子群D)如果S是G的非空子集，且S,*是半群,则S,*就是G,*的子群21.下列说法那个是错误的。（）A)循环群必定是阿贝尔群B)循环群必定有等幂元C)阿贝尔群必定是循环群D)循环群必定是交换群22.下列那个说法是正确的？（）A)同态一定是同构的B）同构一定是同态的C)同态一定是同余的D)同态一定是等价的23.如果f：R-R，对于任意的x∈R,f(x)=5x,则f是从R,+到R,*的一个（）A)单一同态B)满同态C)双射同态D)同构24.含有3个元素的群有（）种情形。A)1B)2C)3D)025..设G是非零乘法群，判断下列哪个f不是G到G的同态映射。（）A）f(x)=|x|B)f(x)=-xC)f(x)=x+1D)f(x)=1/x26.下面关于群的说法不正确的是：（）A）有么元B）有零元C）每个元素都有逆元D）满足结合律27..下面那个是群。（）A）整数域上的加法运算B）实数域上的乘法运算C）自然数域上的除法运算D）整数1到5之间的模6加法运算28..如果A,+,*是一个环，下列关于环的说法错误的是（）。A）A,+是阿贝尔群B）A-{θ},*是阿贝尔群C）运算*对于+是可分配的D）运算+对于*是可分配的29.关于独异点说法错误的是（）。A)必有左么元B)必有右零元C)必然满足结合律D)必是含么半群30.关于阿贝尔群说法错误的是（）。A)必有左么元B)必有右零元C)必然满足交换律D)必是半群三.判断题1.半群一定是独异点。()2.代数系统中有可能有很多个左零元和右零元，它们有可能相等，也有可能不等。()3.群中不可能有零元。()4.群中的某些元素可能有多个不同的逆元。（）5.群的运算一定符合交换律。（）6.如果定义在集合A上的*运算既有左零元，又有右零元，那么必有唯一的零元。（）7.循环群必有等幂元。（）8.有等幂元的群一定是有限群。（）9.阿贝尔群运算一定符合交换律。（）10.有限群一定有么元。（）11.含有零元的半群叫独异点。（）12.在群中，出了么元外，可能还还有其他等幂元。（）13.对一个群G,*，它的任意一个非空有限子集B,如果*在B上封闭，则B,*一定也是群。（）14..循环群一定是阿贝尔群。（）15.同构的一定是同态的。（）16.同态可以诱导一个唯一的等价关系。（）17..f是代数系统A,*到代数系统B,★的同态映射，如果A,*半群，则在f作用下，同态象f(A),★也是半群。（）18.循环群中必有零元。（）19.R-{0},*(*表示乘法)与R,+同构。（）20.定义在自然数集合上的模k加法是一个群。（）四.计算题1.验证二元运算在实数集上是否满足交换律和结合律？2.对于实数集合R，在下面表格中填写“是”或“否”+-*maxmin|x-y|可结合性可交换性有么元有零元3..设G={[1],[2].[3],[4],[5],[6]},G上的二元运算如表所示。问G是循环群吗(写出验证过程)？若是，找出生成元。x[1][2][3][4][5][6][1][1][2][3][4][5][6][2][2][4][6][1][3][5][3][3][6][2][5][1][4][4][4][1][5][2][6][3][5][5][3][1][6][4][2][6][6][5][4][3][2][1]4.考察代数系统I,+，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？如不是，找出反例。1)x,y∈R当且仅当（x0∧y0）∨(x≥0∧y≥0)2)x,y∈R当且仅当|x-y|105.考察代数系统I,+，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？如不是，找出反例。1)x,y∈R当且仅当（x=y=0）∨(x≠0∧y≠0)2)x,y∈R当且仅当x≥y五.证明题1.设A=｛a，b｝，〈A，*〉为半群，且a*a=b。证明：a*b=b*a。2.定义I+上的两个二元运算为：a*b=aba○b=aba,b∈I+证明：*对○是不可分配的。3.如果S,*是半群，且*是可交换的，称S,*是可交换半群。证明：如果S中有元素a,b，使得a*a=a和b*b=b,则（a*b）*(a*b)=a*b。4.设S,*是群，且|S|=2n，n∈I+。证明：在S中至少存在a≠e，使得a*a=e，其中e为么元。5.证明：如果f是由A,★到B,*的同态映射，g是由B,*到C,△的同态映射，那么，g。f是由A,★到C,△的同态映射。6.设f是从群G1,*到G2,△的同态映射,则f是入射当且仅当Ker(f)={e}。其中e是G1中的么元。7.设G,*是一个独异点，且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是么元，证明G,*是一个阿贝尔群。8.设A,★，*是一个代数系统，且对于任意的a∈A,有a★b=a,证明二元运算*对★时可分配的。第7章一.填空题1.把（）的图叫做简单图。2.无向图具有一条欧拉路，当且仅当图是联通的，而且（）。3.把（）的图叫做完全图。4.把（）的图叫做连通图。5.如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩