离散数学试题及答案

离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此(ACD)∧(B∧C)∧(CD)(A∨(C∧D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D)(A∨(C∧D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D))(A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D)∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C∧D)∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C∧D)F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F(A∧C)∨(B∧C∧D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D)(A∧C)∨(B∧C∧D)∨(C∧D)T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。解：论域：所有人的集合。S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：x(S(x)∧W(x))，xY(x)x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)xY(x)P(2)Y(c)T(1)，ES(3)x(S(x)∧W(x))P(4)S(c)∧W(c)T(3)，US(5)S(c)T(4)，I(6)S(c)∧Y(c)T(2)(5)，I(7)xS((x)∧Y(x))T(6)，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB)(x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A))(BA)。四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2}，求r(R)、s(R)和t(R)。解r(R)＝R∪IA＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，1，1，2，2，3，3，4，4，5，5}s(R)＝R∪R－1＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，1，2，4，2，4，3}R2＝{2，2，2，4，3，4，4，4，5，1，5，5，5，4}R3＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，5，4}R4＝{2，2，2，4，3，4，4，4，5，1，5，5，5，4}＝R2t(R)＝1iRi＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，2，2，5，1，5，4，5，5}。五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。证明对任意的x、y∈A，若xr(R)y，则由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。下证对任意正整数n，Rn对称。因R对称，则有xR2yz(xRz∧zRy)z(zRx∧yRz)yR2x，所以R2对称。若nR对称，则x1nRyz(xnRz∧zRy)z(znRx∧yRz)y1nRx，所以1nR对称。因此，对任意正整数n，nR对称。对任意的x、y∈A，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。六、（10分）若f：A→B是双射，则f－1：B→A是双射。证明因为f：A→B是双射，则f－1是B到A的函数。下证f－1是双射。对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)＝x，所以f－1是满射。对任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，则f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是函数，则y1＝y2。所以f－1是单射。综上可得，f－1：B→A是双射。七、（10分）设S，*是一个半群，如果S是有限集，则必存在a∈S，使得a*a＝a。证明因为S，*是一个半群，对任意的b∈S，由*的封闭性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，…，bn∈S，…。因为S是有限集，所以必存在j＞i，使得ib＝jb。令p＝j－i，则jb＝pb*jb。所以对q≥i，有qb＝pb*qb。因为p≥1，所以总可找到k≥1，使得kp≥i。对于kpb∈S，有kpb＝pb*kpb＝pb*(pb*kpb)＝…＝kpb*kpb。令a＝kpb，则a∈S且a*a＝a。八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l≥3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：m≤2ll(n－2)。证明设G有r个面，则2m＝riifd1)(≥lr。由欧拉公式得，n－m＋r＝2。于是，m≤2ll(n－2)。（2）设平面图G＝V，E，F是自对偶图，则|E|＝2(|V|－1)。证明设G*＝V*，E*是连通平面图G＝V，E，F的对偶图，则G*G，于是|F|＝|V*|＝|V|，将其代入欧拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。离散数学考试试题（B卷及答案）一、（10分）证明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R证明因为S∨RRS，所以，即要证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。(1)R附加前提(2)PRP(3)PT(1)(2)，I(4)P∨QP(5)QT(3)(4)，I(6)QSP(7)ST(5)(6)，I(8)RSCP(9)S∨RT(8)，E二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。(1)x(P(x)Q(x))P(2)x(P(x)∨Q(x))T(1)，E(3)x(P(x)∧Q(x))T(2)，E(4)P(a)∧Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)Q(a)T(4)，I(7)x(P(x)(A(x)∨B(x))P(8)P(a)(A(a)∨B(a))T(7)，US(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)Q(x))P(11)A(a)Q(a)T(10)，US(12)A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I(15)x(P(x)∧B(x))T(14)，EG三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。解设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。因为|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，||CBA＝25－20＝5。故，不会打这三种球的共5人。四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如31iAi(Ai为Ai或iA)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。证明小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、…、sr(r≤8)。对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈iA，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或iA，则a∈31iAi，即有a∈ri1si，于是Uri1si。又显然有ri1siU，所以U＝ri1si。任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和iA分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq＝。综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。证明(5)若R是传递的，则x，y∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有x，y∈R，所以R*RR。反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则x，y∈R*R，于是有x，y∈R，即有xRy，所以R是传递的。六、（15分）若G为连通平面图，则n－m＋r＝2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。证明对G的边数m作归纳法。当m＝0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n＝1，r＝1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论：若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1＋n2＝n＝n，m1＋m2＝m＝m－1，r1＋r2＝r＋1＝r＋1。由归纳假设有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，从而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。若e不为割边，则n＝n，m＝m－1，r＝r－1，由归纳假设有n－m＋r＝2，从而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。由数学归纳法知，结论成立。七、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，则：(1)fg是A到C的函数；(2)对任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。证明(1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使x，y∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使y，z∈f。根据复合关系的定义，由x，y∈g和y，z∈f得x，z∈g*f，即x，z∈fg。所以Dfg＝A。对任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得x，y1、x，y2∈fg＝g*f，则存在t1使得x，t1∈g且t1，y1∈f，存在t2使得x，t2∈g且t2，y2∈f。因为g：A→B是函数，则t1＝t2。又因f：B→C是函数，则y1＝y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。综上可知，fg是A到C的函数。(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有x，g(x)∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得g(x)，f(g(x))∈f，于是x，f(g(x))∈g*f＝fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)＝f(g(x))。八、（15分）设H，*是G，*的子群，定义R＝{a，b|a、b∈G且a－1*b∈H}，则R是G中的一个等价关系，且[a]R＝aH。证明对于任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以a，a∈R