离散数学课后习题一答案

1习题一1.用列举法表示下列集合：（1）1到100之间的自然数的集合；（2）小于5的正整数集合；（3）偶自然数的集合；（4）奇整数的集合.解：(1)A{,,,,},123100(2)B{,,,}1234，(3){0,2,4,6,8,}C,(4)D{,,,,,,,}531135.2.用描述法表示下列集合：（1）偶整数的集合；（2）素数的集合；（3）自然数a的整数幂的集合.解：(1)}2{整除的整数被是能xxE(2)}11{数和自身整除的整且只能被是大于xxP(3)}{是整数是自然数，naaAn3.设},1,4,3},{{},4},3{,,2{aRaS请判断下面的写法正确与否：（1）Sa}{（2）Ra}{（3）Sa}}3{,4,{（4）Ra}4,3,1},{{（5）SR（6）Sa}{（7）Ra}{（8）R（9）ERa}}{{（10）S}{（11）R（12）}4},3{{解：(1)错;(2)对;(3)对;(4)错;(5)错;(6)对;(7)错;(8)对;(9)对;(10)错;(11)错;(12)对.4.设A、B和C为任意三个集合.以下说法是否正确?若正确则证明之,否则举反例说明.（1）若BA且CB，则CA；（2）若BA且CB，则CA；（3）若BA且CB，则CA；（4）若BA且CB，则CA解：(1)正确。因BC，所以，对任何xB均有xC，今AB，故AC。(2)错误。例如，令ABC{},{{},},{{},,}112123。(3)错误。例如，令ABC{},{,},{{,}}11212。(4)错误。例如，令ABC{},{{}}11。5.设SSP{是集合且SS.P是集合吗?请证明你的结论.解：假设P是集合。于是，(1)若PP，则由的定义，有PP；(2)若PP，则由的定义，有PP。总之，有PP当且仅当PP。此为矛盾。故P不是集合。6．设}3,4{},5,4,1{},3,1{},5,4,3,2,1{CBAE.试求下列集合：（1）BA；（2）CBA)(；2（3）)(BA；（4）BA；（5）CBA)(；（6）)(CBA；（7）CBA)(；（8）)()(CBBA解：(1)AB{};3(2)(){,,}ABC125;(3)(AB){,,,}2345;(4)AB{,,,}2345;(5)();ABC(6)ABC(){};3(7)(){};ABC5(8)()(){,}ABBC14.7.设A、B和C为任意三个集合，以下说法是否正确？若正确则证明之，否则举反例说明.（1）若CABA，则CB；（2）若CABA，则CB；（3）若CABA，则CB；（4）若CBA，则BA或CA；（5）若ACB，则AB或AC解：(1)错误。例如，令ABC{},{,},{}1122;(2)错误。例如，令ABC{},{},{}123;(3)对。若BC，不妨设xBxC而。于是，(i)若xA，则xAB，但xAC；(ii)若xA，则xAB，但xAC。此与ABAC矛盾。故结论成立。（4）错。例如，令{1,2},{1},{2}ABC;（5）错。例如，令{2},{1,2},{2,3}ABC8.设A、B和C是任意三个集合，试证明：（1）BA当且仅当BA；（2）ABBA；（3）)()(CBACBA；（4）)()()(CABACBA；（5）)()()(CABACBA解：(1)设AB。于是ABABABAA()()。反之，设AB。若AB，则不妨设xAxB而。于是xABxAB,而，从而AB。此为矛盾。故AB。(2)ABABABBABABA()()()()。(3)左式=()ABC=(()())ABBAC=(()())ABBAC=(()())((()()))ABBACABBAC=(()())((()()))ABBACABBAC=(((())(())))()()ABAABBCABCABC=((()()))(()())ABABCABCABC3=()()()()ABCABCABCABC右式=ABC()=ABCBC(()())=(()())((()()))ABCBCABCBC=((()())())((()()))ABACBCABCBC=(()())(()())((()()))ABBCACBCABCBC=(()()()()ABCABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC=左式(4)证明：ABCABCCBABCCBABCABCABACABACACABABACACABABACACABABCABC()(()())(()())()())()()(()())(()())(()())(()())(()()(()())()())而因此，ABCABAC()()()(5)证明：取且于是，从而，但因此，AABACABCBCABCAABACAAABCABAC,,.,().()().()()().9.设}3,2{},2,1{BA,试确定以下集合：（1）BA}1{；（2）BA2；（3）2)(AB解：AB{}{,,,,,,,,,,,}1112113212213ABAAB2112113122123212213222223112113122123212213222223(){,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}BA{,,,,,,,}212231324()()(){,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,BABABA221212122213121322221222222312232312131223131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}3132322132223231323210.证明：若BBAA，则BA.解：因为xAiffxxAAiffxxBBiffxB,,,所以，当时，ABBBAB。11.证明：若CABA，且A，则CB.解：任取yB，因A，所以存在xA，使xyAB,，从而xyAC,。因此yC，即BC。同理可证CB。故BC。12.设yx,为任意元素，令}},{},{{,yxxyx试证明：,,uyx当且仅当yux,.解：设xyuv,,，即{{},{,}}{{},{,}}xxyuuv。（1）若{}{},{,}{,}xuxyuv，则有xuyv,；（2）若{}{,},{,}{}xuvxyu，则有xyuv。反之，设xuyv,，则由定义有xyuv,,。13.将三元有序组zyx,,定义为}},,{},,{},{{zyxyxx合适吗？为什么？解：不合适。例如，由定义，121112121112,,{{},{,},{,,}}{{},{,}}而112111112112,,{{},{,},{,,}}{{},{,}}但显然121112,,,,。