3.2立体几何中的向量方法(空间角)

3.2立体几何中的向量方法（二）1.异面直线所成的角：lambcoscos,ababablamb，设线别为→→异面直l，m的方向向量分a，b，πθ0，2ulaula设直线l的方向向量为，平面的法向量为au2.直线与平面所成的角：(02)≤≤usincos,uuaaa设平面,的法向量分别为,uv，则uvcosθ=cos,uv3.二面角：(0)≤≤uuvcoscosu,vuvxyz解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD11(,0,1),2AF111(,,1)22DB11cos,AFDB1111||||AFDBAFDBA1AB1BC1C1D1F30=.10所以与所成角的余弦值为1DB1AF3010现将着点例1：0111111111111Rt△ABC中，∠BCA=90,△ABC沿平面ABC的法向量平移到ΔABC位置，已知BC=CA=CC,取AB、AC的中D、F，求AF与DB所成的角的余弦值.现将着点例1：0111111111111Rt△ABC中，∠BCA=90,△ABC沿平面ABC的法向量平移到ΔABC位置，已知BC=CA=CC,取AB、AC的中D、F，求AF与DB所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解2：几何法ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|ADn|sinθ=|AD|×|n|解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6(NAMA由的法向量设平面),,,(zyxn00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体中，ADANM.求与平面所成的角的正弦值例2：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1AD点线上，N在段15,AN,61AA,8,6ADAB330430xyzyz即xy得ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN4得n=(1,1,-)3,222|0+1·8+0|334==3448·1+1+(-)3AD=(0,8,0),又AD与平面ANM所成角的正弦值是34343|AD·n|∴sinθ=|AD||n|在长方体中，ADANM.求与平面所成的角的正弦值例2：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1AD点线上，N在段15,AN,61AA,8,6ADAB例3：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.平面PBC的一个法向量为11DE=(0,,)22G同理，平面PBD的一个法向量为11CG=(,-,0)22cosDE,CG=-1/2ocosθ=1/2,θ=60DEPBC直线平面【巩固练习】1.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1C1C所成角的余弦值为_________.3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是__________090BAC090BAC6631010045