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第二章Solow-Swan模型在第一章我们给出了静态的国民收入的决定模型，而且分析了财政政策、货币政策等外生变量改变对国民收入、利率水平等内生变量的影响。在上面的模型中存在昀大的不足之处就是这个模型没有收入、利率等内生变量的动态特征，这样就不能考虑这些变量的动态特征，同样更加不能考虑因为外生的不确定性对这些变量的影响。因此，我们必须在动态条件下考虑这些变量的决定。动态的模型昀著名是Solow模型，Ramsey模型等，虽然Rmsey模型的出现年代比Solow模型早，但是这个模型是在人们认识了Solow模型后才逐步被人们接受，并且广泛采用的，因此，我们在介绍动态模型时，一般地首先介绍的是Solow模型。在本书，我们也按照这样的原则，先介绍Solow模型，然后把Ramsey模型看成Solow模型的推广。§1Solow模型和所有的宏观经济学模型一样，Solow模型考虑的对象也是家庭（或代表性消费者）、厂商和市场。如果要考虑公共财政理论，就需要增加政府行为。因此，宏观模型研究问题考虑问题的基本框架为：首先考虑家庭行为，家庭拥有经济的资源，如资产和劳动力等；他们通过自己的昀优行为决定需要多少消费品、如何进行投资（持有多少货币、股票和债券）和提供多少时间来工作（供给多少劳动力）等等。其次需要考虑厂商行为，厂商雇佣资本和劳动力等生产资源来生产产出来满足家庭和其它公司的需要。厂商选择资本可劳动的行为是通过极大化自己的利润或者极小化自己的成本得到的，厂商通过自己的昀优行为决定需要雇佣投入多少资本和劳动力、选择何种生产技术、从而决定生产多少产品。第三是政府行为，政府通过发行债券和货币以及收取税收获得收入来满足自己的花费。昀后通过市场调节，所有的市场的供给等于需求，我们决定经济中所有的价格，从而可以决定厂商的昀终供给与需求，家庭的供给与需求，以及政府的公共开支。这样刻画整个经济的变量就可以得到。下面来具体介绍这个行为。这里介绍的是昀简单的增长模型，它由Solow1958年给出，模型考虑的是一个Robinson经济中，在这个经济中生产者也是资源的拥有者。1．模型的框架Solow模型的主要假设如下：假设1．假设由厂商投入资本和劳动力来生产出产品，假设这一过程可以由连续可微、一次齐次的严格凹函数描述，即Y))(),(()(tLtKFt=)1,)()(()(tLtKFtL=（函数的一次齐次性）F=（定义资本—劳动力比率：)1),(()(tkFtLLKk/=）=（定义))(()(tkftL)1,()(kFkf=）因此人均产出可以表示为)(/kfLYy==(1.1)显然，在生产函数的假设A1—FA3，A4’和A5下，通过计算有0)(,0)(′′′kfkf(1.2)和Inada条件lim'()0kfk→∞=，li0m'()kfk→=+∞假设2.假设劳动力的供给不带弹性。在这个假设下，可以得到人口增长的速度与劳动力的增长速度一致。因此，我们可以用资本-劳动比率来表示人均的变量。如果假设劳动力的增长率为常数，记为初始时刻的劳动力，这样在t时刻的劳动力为n)0(LnteLtL)0()(=(1.3)假设3.假设消费者储蓄率10s为常数，因此，消费者总的储蓄就是收入的倍。这个假设是消费者的跨时投资假设，这在Solow模型中是昀本质的，这也是Solow模型常常被人们攻击的地方，后面的这个模型的诸多推广都是基于这个假设的改进的。在这个假设下，我们得到)(tSs42()()dKtItdt==投资—储蓄恒等式；)(tS常数储蓄率的假设；()((),())sYtsFKtLt==其中初始资本存量和劳动力给定。)0(K)0(Ls为简单起见，模型中没有考虑到资本的折旧和投资的调整成本。把上述等式两边同时除以，并注意到假设1和假设2，我们得到)(tL()(())()dktsfktnktdt=−(1.4)其中初始资本存量k给定。)0(/)0()0(LK=方程(1.4)就是我们所说的Solow方程，它表示人均储蓄用来增加人均资本存量和补偿因为人口的增长所需要的资本存量。在给定的生产函数下，通过这个方程可以得到人均资本存量的显示路径，从而可以得到产出路径、储蓄路径和消费路径。但是，即使在给定的生产函数的形式下，我们也很难得到微分方程的显示解。根据我们在附录中的知识，我们知道可以借助于微分方程的动力系统特征来讨论在均衡时的资本存量的性质。注：这个模型也可以从一般均衡的框架来讨论：首先考虑消费者行为。我们记时刻家庭拥有的总资产为，。这里可以为正，也可以为负的。当为正时表明此时家庭拥有公司的股份；反之，表明家庭的借债。我们假设市场的利率为。这样家庭所拥有的资产在t时刻可以带来的收益为。同时，我们还假设家庭为社会提供劳动力，得到工资回报，假设工资率为，家庭可以为社会提供的劳动力为，这样，家庭通过劳动得到的收益为。因此在t时刻家庭的总收入为rt)(tA)(tL)t)(tA)(tA)(tL)(tr)(trA)()tA)t(w)(tw()((Ltwt+。家庭除用来消费外，其余用来储蓄。假设储蓄率是外生给定的常数，那么资产积累的方程可以表示为：s()(()()()())AtswtLtrtAt=+第二，考虑厂商的行为。假设厂商的技术由连续可微的、递增的、边际效用递减的、一阶齐次的生产函数来表示：),(LKFY=其中，K和分别为投入的总的资本存量和劳动力，由厂商的利润极大化我们得到L(,),(,)KLFKLrFKLw==第三，考虑市场均衡。在均衡时，所有的需求等于供给。包括AK=，这样，我们可以把上面方程写成()((,)()(,)())(,)LKKtsFKLLtFKLKtsFKL=+=这样，我们就得到了Solow方程。为方便起见，我们定义函数()()ksfknkφ=−(1.5)同时，记))0(;(ktϕ为从初始值k出发方程(1.4)的解。)0(定义1：定义叫做方程(1.4)的均衡点（steadystate,equilibriumpoint或者stationarypoint）当且仅当k满足。*k(*k*0)=φ显然，均衡点就是函数*k)(kφ的零点。我们可以从图2.1中看到，均衡点就是曲线与曲线的交点。在没有对生产函数进行进一步的假设下，均衡点可能存在，也可能不存在；如果均衡点存在，也可能存在唯一的均衡点，也可能存在多个均衡点。如图2.1所示，对于生产函数和，就不存在非零的均衡点；对于生产函数，存在三个非零的均衡点1，3和4；而对于生产函数，仅存在唯一的非零均衡点2.*k)(ksfnk(1f)k)(4kf)(2kf)(3kf43nk)(kf)(1kf)(2kf)(3kf)(4kf1234k图1.1因此，为了得到均衡点的存在性就必须对生产函数加以限制，为此，有下面的性质：性质1.1：在生产函数的假设A1—A3和A4’下，如果参数和s满足nsn*k0)0(f′，那么存在唯一的满足，即系统(1.4)存在唯一的均衡点，它为。*k0)(*=kφ证明：由生产函数的假设知道是严格单调上升的，所以)(kf)(kφ也是严格单调的，从而可以得到均衡点的唯一性。因此，下面我们着重于证明均衡点的存在性。首先，由假设A1我们知道0)0(=φ。同时，我们知道对任意的有0K000(,0)lim(,)lim(,1)LLLKFKFKLKFKL→→===即()lim0/kfknsk→∞=。这样，存在0k，使得对任意的kk时，有snkkf)(。也就是说对任意的kk，有0)(kφ成立。另一方面，由L’Hospital法则，我们可疑得到00()()(0)limlim(0)kkfkfkffkk→→ns−′==。因此存在k，使得对任意的kk时，有()fknks。也就是说对任意的kk，成立0)(kφ。因为)(kφ是连续函数，所以由中值定理知道至少存在],[*kkk∈满足。这样就证明了均衡点的存在性。0)(*=kφQ.E.D.前面已经证明了在新古典的假设下，均衡点是存在的，而且是唯一的。下面来考虑均衡点的稳定性。首先给出稳定性的定义：定义2：均衡点k叫做渐近稳定的，如果对任意的初始值，方程(1.4)的解*)0(k))0(;(ktϕ满足lim；均衡点叫做局部渐近稳定的，若存在一个区域Ω，对任意的，方程(1.4)的解*))0(,(ktt∞→ϕΩ∈)k=*k))00(k(;(ktϕ满足。*))0(,(limkktt=∞→ϕ44定义3：系统(1.4）叫做整体稳定的，如果对任意的初始值，存在系统的某一均衡点，对系统(1.4)的轨道)0(k*k))0(;(ktϕ满足。*))0(,(limkktt=∞→ϕ在数学附录中给出了关于稳定性的一些基本结论，利用这些结论可以证明均衡点的稳定性问题。在一维系统中，如果能证明系统对应的在均衡点附近的线性化系统的特征根的实部是负的，这样就可以得到该均衡点是渐近稳定的。关于稳定性，我们有下面的性质性质1.2：在性质1.1的假设下，系统(1.4)的均衡点是局部渐近稳定的。即在理性预期的假设下,从任意的初始值出发，系统(1.4)的解都将收敛到均衡点。*k*k证明：由Liaponov定理，如果能在均衡点k的附近构造一个Liaponov函数，我们就可以得到均衡点的局部渐近稳定性。下面的任务就是要构造Liaponov函数，定义函数*2)(ξξ=V。其中。我们要证明该函数为Liaponov函数。*kk−=ξ因为))()((2))((22)(**knksfnkksfdtddtdV+−+=−==ξξξξξξξ≤的严格凹性))()()((2***knkfsksf+−′+ξξξ)(kf2*2(())sfknξ′=*k为均衡点−2***2(())skfkfkξ′=−0≤)(kf。的严格凹性而且上式等于0当且仅当0=ξ。这样，我们就证明了函数V为Liaponov函数。从而，由Liaponov定理知道k为系统(1.4)的渐近稳定的均衡点。2)(ξξ=*我们也可以用微分方程稳定性理论给出性质1.2的另外一种证明，考虑系统(1.4)在处对应的线性化系统：*k))()(()(***kknkkfsdttdk−−′=显然，上面线性系统的特征根为=λnkfs−′)(*1。下面要证明它是负的。事实上，因为，由中值定理知道存在00)0(=fθ满足)()0()(****kfkfkfksnθ′=−=由于函数的单调性，我们知道，所以我们有f′)()(**kfkf′′θ)(***kfkksn′。这就表明特征根是负的，也就是证明了k为系统(1.4)的渐近稳定的均衡点。*证明完成例1：假设生产函数是CES型的βββαα1])1([),(−−−−+=LKLKF其中10α和1−≥β为常数。对于这个生产函数，我们知道仅当0=β时，它满足性质1.1的条件，从而得到了均衡点存在性、唯一性。进一步地，由性质1.2可以得到均衡点的渐近稳定性。当0β时，由于，这违反了Inada条件∞′)0(f∞=′→lim0k)(kf0。它不满足上面性质1.1和性质1.2的条件，从而就不一定存在非零的均衡点；当β时，因为，所以违反了生产函数的假设A1。这样，它不满足性质1.1的条件，因此，均衡点也可能不存在。0)0(f例2：Harrod-Domar模型如果取生产函数为完全不可替代的形式45},min{),(bLaKLKF=其中和b为正常数。这样，Solow模型就变成了Harrod-Domar模型。a由生产函数的定义，我们得到人均的生产函数}.1,min{)(bakkf=这样动态方程(1.4)变为)(}1,min{)(tnkbaksdttdk−=(1.6)在给定的初值条件下，方程(1.6)的显示解很容易可得到：当k时，ba/)0(+−=−−−batkebabatknbsektkttnntnbsas/)(,/)(,))0(()())((1当k时，ba/)0(+−=−−−batkebabatknbsektkttnntnbsas/)(,/)(,))0(()())((1因此，我们得到下面的结论，按照初始值和参数分情形列表如下：asn1