积分第二中值定理的应用及中间点的渐近性

1关于积分第二中值定理的探讨范喜红指导老师：朱福国(河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000)摘要本文以实例的形式,列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛,解决与极限有关的问题,证明积分的不等式和等式等方面的应用.并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.关键词积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态中图分类号O172.2OntheintegralofthesecondmeanvaluetheoremFanXihongInstructorZhuFuguo(SchoolofMathematicsandStatistics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Inthispaper,asaninstanceof,Thesecondliststheintegralmeanvaluetheoreminidentifyingtheconvergencepointsofunboundedfunctions,solveproblemsofthelimit,Proveintegralinequalitiesandequationsinsuchapplications.Anddiscussedtheweakenedconditionofthesecondintegralmeanvaluetheoremmiddlepointoftheprogressivestate.Keywords:Thesecondintegralmeanvaluetheorem;Application;Mid-point;Asymptoticbehavior1引言积分第二中值定理是数学分析的基本定理,在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用.为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.2积分第二中值定理定理11如果,fxgx是,ab上的可积函数,且gx在,ab单调,则至少存在一点,ab使得bbaafxgxdxgafxdxgbfxdx(1)3积分第二中值定理的应用3.1无界函数积分收敛的判别法.例1阿贝尔判别法2：设()fx在xa有奇点,bafxdx收敛,其中2ba,gx单调有界,那么积分bafxgxdx收敛.证明依假设,利用第二积分中值定理,在任何,,ab上,存在使得fxgxdxgfxdxgfxdx,又因为bafxdx收敛,所以对任意的0,存在满足0ba,且,,aa时,有fxdx,fxdx.因为gx有界,不妨设gxL,所以有当,,aa时,fxgxdxgfxdxgfxdxgfxdxgfxdx2L.由柯西积分原理得,bafxgxdx收敛.3.2与极限有关的问题.例2设21,101xxfxx当,当,试计算0sinlim(0)bxfxdxbx.解取*min,1bb,则fx在*0,b上递减,由积分第二中值定理有0sinbxfxdxx*0sin0bxffxdxx0sin0xfdxx0sintdtt*(0)b因此0sinlimbxfxdxx0sintdtt2.3.3证明积分不等式和等式.例3设fx在,ab上连续，且单调增加，证明：2bbaaabxfxdxfxdx.证明因为32bbaaabxfxdxfxdx2baabxfxdx2aabfaxdx2babfbxdxab22bbaababfaxdxfbfaxdx2222babfbfab02bfbfaa所以2bbaaabxfxdxfxdx.例4设0ba,0,证明：1,使得sin2xbaexdxxa.证明令xefxx,singxx,则gx在,ab上连续,又210xxfxex,所以fx在,ab上严格单调减少,且非负.于是,由积分第二中值定理知,,ab,使得sinxbaexdxxafagxdxcoscosxea,即sin2xbaexdxxa令sin2xbaaexdxx,则有1,且sin2xbaexdxxa.4积分第二中值定理中间点的渐近性态定理23设函数()fx在,ab上连续且不变号,()0fa,gx在,ab上单调且连续,()()nga存在,且()()gaga=…=(1)()nga=0,()()0nga(1)n,则对4于(1)中的有1lim1babban或lim1baanban定理2的条件还是稍强了一些,实际上这个定理的条件还可以减弱.下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:定理34设函数()fx在,ab上连续且不变号,且()0fa,gx在,ab上单调,()()nga存在,()()gaga=…=(1)()nga=0,()()0nga,则对于式(1)中的有1lim1babban证明由题设可得()0bafxdx.由()fx在,ab上连续,则有()()()bafxdxfba,,ab.由()()nga存在,()ga=()ga=…=(1)()nga=0，()()0nga,容易证明()()()()lim()!nnbagagbgaban（2）1()()()()lim()bbaanbbaafxgxdxgafxdxfxdx()()()()lim(1)()()nbbaafbgbfaganfxdxfb()()lim(1)()()nnbagbganfba()()(1)!()nnganfa（3）另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式（2）,我们有51()()()()lim()bbaanbbaafxgxdxgafxdxfxdx1()()()()()()lim()bbaanbbaagafxdxgbfxdxgafxdxfxdx1()()()lim()bnbbaagbgafxdxfxdx112()()()lim()()nnbafgbgabbabaf()()lim!()nnbagabbanfa（4）其中1,b,2,ab.由式（3）和式（4）即得1lim1babban.比较定理2和定理3可以看出,定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果相同.致谢衷心感谢朱福国老师的悉心指导!参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.223-224.[2]朱碧,王磊.积分第二中值定理的一些推广及其应[J].数学教学与研究,2008,30:49-50.[3]吴志友,夏雪.积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J].数学的实践与认识,2004,34（3）：170-176.[4]陈新一,唐文玲.关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J].甘肃联合大学学报,2005,19（3）：3-5.6789101112131415161718广州陶粒,广州陶粒厂