《保险精算学》笔记：多元生命函数

中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网《保险精算学》笔记：多元生命函数第一节多元生命函数简介一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。二、多元生命函数的作用养老金给付场合合伙人联保场合三、多元剩余寿命的联合分布1、联合密度函数2、联合分布函数3、联合生存函数4、边际生存函数第二节多元生命状况一、连生状况1、连生状况定义（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为：（2）连生状况剩余寿命的定义：中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网（3）连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数（1）分布函数（2）生存函数特别：两个体剩余寿命独立场合（3）密度函数特别：两个体剩余寿命独立场合（4）死亡效力函数特别：两个体剩余寿命独立场合中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率（6）连生状况整值剩余寿命为的概率（7）剩余寿命的期望二、最后生存状况1、最后生存状况的定义（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。当所有的成员都死亡时，最后生存状况就结束了。简记最后生存状况为：（2）最后生存状况剩余寿命的定义：（3）最后生存状况剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量2、多生命状况剩余寿命的关系（1）（2）中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网（3）（4）3、两个体最后生存状况的生命函数（1）分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（3）密度函数等价公式（4）死亡效力函数中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率等价公式（6）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型一、简介联合生命模型分为两类：CommonShock模型和Copulas模型。CommonShock模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网模型。二、CommonShock模型1、定义：如果有满足且有一个CommonShock随机变量，它独立于，且服从指数生存函数令则2、联合生命状况分析记则（1）边际生存函数为（2）连生状况剩余寿命生存函数为中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网（3）最后生存状况剩余寿命生存函数为特别，独立时，等价于。第四节人寿保险与生存年金一、联合生命状况趸缴纯保费的确定1、趸缴纯保费的确定原理2、联合多生命状况趸缴纯保费的确定（1）连生状况（2）最后生存状况二、联合生命状况生存年金的确定1、生存年金确定原理2、联合生命状况生存年金的确定中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网（1）连生状况（2）最后生存状况三、连生状况合最后死亡状况的关系四、继承年金1、继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为。2、终身继承年金3、定期继承年金第五节在特殊死亡律假定下求值一、Gomperz和Makeham假定1、Gomperz假定下寻找能替代连生状态的单个生命状态，即已知在Gomperz假定下有，则在两生命独立假定下有中华精算师考试网官方总站：圣才学习网官方总站：圣才学习网由这个等式可求出，于是2、Makeham假定下由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态作替换，即已知在Makeham假定下有，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出，于是二、均匀分布假定在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质