高考数学放缩法精选精讲

个性化教学辅导教案—高考数学“放缩法”精选精讲学科：数学任课教师：林老师授课时间：姓名年级高三性别教学课题教学目标（知识点、考点、能力、方法）高考数学“放缩法”精选精讲难点重点课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________过程高考数学“放缩法”精选精讲1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa本题在放缩时就舍去了22k，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.证明：由f(n)=nn414=1-1111422nn得f（1）+f（2）+…+f（n）n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：∑nk=1ka2k＜3．证明：∑nk=12kka=∑nk=131k＜1＋∑nk=21(k－1)k(k＋1)＜１＋∑nk=22(k－1)(k＋1)(k＋1＋k－1)=2111(1)(1)nkkkkk=1＋∑nk=2(1(k－1)－1(k＋1))=1＋1＋22－1n－1(n＋1)＜2＋22＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}na满足2111,0,2nnaaa求证：1211().32nkkkkaaa证明22112131110,,,.2416nnaaaaaa2311,0,16kkaa当时1211111111()()().161632nnkkkkknkkaaaaaaa本题通过对因式2ka放大，而得到一个容易求和的式子11()nkkkaa，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn证明：∵nnnn2)1(212)21()1(2nnnn∴212)1(nnnn∴2)12(31321nann，∴2)1(2)1(2nannn本题利用21(1)2nnnn，对na中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：2222111171234n证明：21111(1)1nnnnn2222211111111151171()().1232231424nnnn此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知54nan，证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.证明：要证51mnmnaaa，只要证512mnmnmnaaaaa.因为54mnamn，(54)(54)2520()16mnaamnmnmn，故只要证5(54)12520()162mnmnmnmnaa，即只要证2020372mnmnaa.因为2558mnmnaaaamn558(151529)mnmn202037mn，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2mnmnaaaa放大即可.8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niAim＜miAin；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim=m·…·(m－i+1)，ninnnnnnmimmmmmmiimiim11A,11A同理，由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有mkmnkn，所以imiiniiimiinnmmnAA,AA即(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+C1nm+C2nm2+…+Cnnmn，(1+n)m=1+C1mn+C2mn2+…+Cmmnm，由(1)知miAin＞niAim(1＜i≤m＜n)，而Cim=!AC,!Aiiininim∴miCin＞niCim(1＜m＜n)∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，…，mmCmn＞nmCmm，mm+1C1mn＞0，…，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+…+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+…+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.求证证明本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。例14分析12112112111!1222111112!3!!111112221112,(2)11133knnnknk111112!3!!13n1()1,(0)1,2(1)(1),2(1)(1)(1)(1)2,1.2(1)(1)2,2(1)(1)24,2.(2)424211,fxfcbffbffffbaffcaffcafabcabc当x时，总有若不符合要求.(2)42()3(1)38,fabcabcabfab注意到f(1)=a+b+c若也不符合要求.又注意到f(-1)=a-b+c(2)42())222211417,fabcabcabcabcabcabcabc若（符合要求.2(),1()1,(2)7.fxaxbxcfxf设当x时，总有求证：浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧用放缩法证明下列各题。例1求证：.133lg3lg证明：因为,)2ba(ab2所以左边,)299lg()233lg3lg(22[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg(2所以.133lg3lg例2若,2n,Nn求证：.1)1n(log)1n(lognn证明：因为,11n,2n所以,0)1n(log,0)1n(lognn因为4)]1n([log]2)1n(log)1n(log[)1n(log)1n(log22n2nnnn［因为22n1n（放大），所以,nlog)1n(log2n2n又,2n所以xlogn是增函数］，所以14)n(log4)]1n([log22n22n，所以.1)1n(log)1n(lognn例3求证：).Nn,1n)(2n(log)1n(log1nn证明：nlog)2n(log)1n(log)2n(log1n1nn1n左边右边（因为1alogblogba）21n21n1n]2)2n(nlog[]2nlog)2n(log[［又因为2)1n()2n(n（放大）］，所以,1]2)1n(log[]2)2n(nlog[221n21n所以).2n(log)1n(log1nn例4已知,0ba求证：.baba证明：因为0ba.bababa)ba(ba),(baba,0ba,ba2两边同乘放大例5求证：.2ba)2ba(222证明：因为4bab2a)2ba(222（因为22baab2）4bbaa2222（放大）.2ba22所以.2ba)2ba(222例6求证：当0a时，函数cbxaxy2的最小值是;a4bac42当0a时，函数cbxaxy2的最大值是.a4bac42证明：因为原函数配方得,a4bac4)a2bx(ay22又因为,0)a2bx(a0)a2bx(,0a22所以a4bac4a4bac4)a2bx(ay222（缩小），所以函数y的最小值是a4bac42。当,0)a2bx(a0)a2bx(,0a22所以a4bac4a4bac4)a2bx(ay222（放大），所以函数y的最大值是.a4bac42例7求证：)Nn)(n1n(2n1证明：因为n1n2nn2n1（分母有理化）),n1n(2所以原不等式成立。例8若,0ba求证：)Nn(a)ba(nbab)ba(n1nnn1n证明：因为),bbabaa)(ba(ba1n23n2n1nnn而,0ba所以),Nn(bann所以,na)ba()aaaaa)(ba(ba1n1n23n2n1nnn同理可证nn1nbab)ba(n（当且仅当ba时，取等号）。例9已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：.2acbcbabac证明：不妨设,0cba据三角形三边关系定理有：,0acb便得cbabac,2cba1cabcbacbcacb所以原不等式成立。例10求证：)Nn(1n212n11n121证明：因为,21nnnnn1nn1nn1nn12n11n1又,1nnn1n1n1nn12n11n1所以原不等式成立。例11求证：.2n321132112111证明：因为左边)4131()3121()211(1n)1n(13212111,2n12)n11n1(证毕。例12求证)Nn(1!n1!41!31!21证明：因为,2122211k3211!k11k所以左边32212121.1)21(1211n1n注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,DC,CB,BA则DA。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。.ARQP.BPRQ.CQRP.DRPQ课堂检测听课及知识掌握情况反馈_________________________________________测试题（累计不超过20分钟）______道；成绩_____；教学需：加快□；保持□；放慢□；增加内容□课后巩固作业______题；巩固复习_____________;预习布置___________________签字教学组长：教研主任：校长：学习管理师：学生签字老师课后老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：