空间两点间距离公式习题含详解

2.4.2一、选择题1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于()A．10B.10C.38D．38[答案]A[解析]A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5)∴|AB|＝(2－2)2＋[－3－(－3)]2＋[5－(－5)]2＝10.2．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形[答案]D[解析]∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形．3．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为()A．(－3,0,0)B．(0，－3,0)C．(0,0，－3)D．(0,0,3)[答案]C[解析]设M(0,0，C)，由|AM|＝|BM|得：12＋02＋(C－2)2＝12＋(－3)2＋(C－1)2，∴C＝－3，选C.4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)，B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A．143B．314C．542D．425[答案]A[解析]d(A，B)＝(－6－8)2＋(－6－8)2＋(－6－8)2＝143.5．(2010·曲师大附中高一期末检测)以A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]D[解析]|AB|＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝7，|BC|＝(2－10)2＋[4－(－1)]2＋(3－6)2＝72，|AC|＝(2－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2＝7，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴△ABC为等腰直角三角形．6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9B.29C．5D．26[答案]B[解析]如图所示，由题设条件可知：|AA1|＝3，|AB|＝2，∴C1(0,2,3)，∴|AC1|＝29.7．点M(2，－3,5)到x轴的距离d等于()A.38B.34C.13D.29[答案]B[解析]点M在x轴上射影N的坐标是(2,0,0)，∴d＝(2－2)2＋(－3)2＋52＝34.8．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝()A.534B.532C.532D.132[答案]C[解析]∵AB的中点M2，32，3，C(0,1,0)，∴|CM|＝(2－0)2＋32－12＋(3－0)2＝532.二、填空题9．若点A(－1,2，－3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为________．[答案]210[解析]∵A(－1,2，－3)关于y轴的对称点B(1,2,3)，∴|AB|＝[1－(－1)]2＋(2－2)2＋[3－(－3)]2＝210.10．(2010·锦州市高一期末检测)在空间中，已知点A(－2，3,4)在y轴上有一点B使得|AB|＝7，则点B的坐标为________．[答案](0,3＋29，0)或(0,3－29，0)[解析]设点B的坐标为(0，b,0)，由题意得(0＋2)2＋(b－3)2＋(0－4)2＝7，解得b＝3±29.∴点B的坐标为(0,3＋29，0)或(0,3－29，0)11．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．[答案]2393[解析]∵|AM|＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2＝13，∴对角线|AC1|＝213，设棱长为x，则3x2＝(213)2，∴x＝2393.12．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，满足条件的P点组成的曲线是________．[答案]以O为圆心，半径为3的圆[解析]如右图：∵AO⊥平面xOy，∴AO⊥OP，又|AO|＝4，|AP|＝5，∴|OP|＝3.三、解答题13．已知点P1、P2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x、y、z轴上取点A、B、C，使它们与P1、P2两点距离相等，求A、B、C的坐标．[解析]设A(x,0,0)，B(0，y,0)，c(0,0，z)，由|AP1|＝|AP2|得，(x－3)2＋1＋1＝(x－2)2＋4＋9∴x＝－3，同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，由|CP1|＝|CP2|得z＝－32，∴A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C(0,0，－32)．14．(1)在z轴上求与点A(－4,1,7)和B(3,5，－2)等距离的点的坐标．(2)在yOz平面上，求与点A(3,1,2)、B(4，－2，－2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标．[解析](1)设所求点P为(0,0，c)由题设|PA|＝|PB|，∴16＋1＋(c－7)2＝9＋25＋(c＋2)2解之得c＝149，∴P(0,0，149)．(2)设所求点为P(0，b，c)∵|PA|＝|PB|＝|PC|，∴9＋(b－1)2＋(c－2)2＝16＋(b＋2)2＋(c＋2)29＋(b－1)2＋(c－2)2＝0＋(b－5)2＋(c－1)2∴3b＋4c＋5＝04b－c－6＝0∴b＝1c＝－2∴P(0,1，－2)．15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．[解析]建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A1C1|＝22，∵|MC1|＝2|A1M|，∴|A1M|＝232，∴M(23，23，4)．又C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1中点∴N(1,2,2)，∴|MN|＝(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2＝533.16．若点G到△ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为△ABC的重心．已知△ABC三个顶点的坐标分虽为A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(－1,3，－3)，求△ABC的重心G的坐标．[解析]设重心G的坐标为(x，y，z)，则|GA|2＋|GB|2＋|GC|2＝(x－3)2＋(y－3)2＋(z－1)2＋(x－1)2＋y2＋(z－5)2＋(x＋1)2＋(y－3)2＋(z＋3)2＝3x2－6x＋3y2－12y＋3z2－6z＋64＝3(x－1)2＋3(y－2)2＋3(z－1)2＋46，当x＝1，y＝2，z＝1时，|GA|2＋|GB|2＋|GC|2取最小值46，∴重心G的坐标为(1,2,1)