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一、几何图形的识读与描绘1．现实生活中接触到的各种物体，大多是由柱、锥、台、球形状的物体组成，我们研究空间几何体，不仅要了解其结构，从复杂的几何体中分解出我们熟悉的简单几何体，而且要画出三视图和直观图，定量研究需要计算的面积和体积．通过侧面展开，计算空间几何体表面积，体现出转化的思想．由空间几何体画出其三视图和直观图，或由三视图和直观图想象出空间几何体，两者之间相互转化，可以培养我们几何直观能力、空间想象能力．2．图形的画法几何图形主要有三种画法：一是斜二测画法，二是三视图画法，三是中心投影法．(1)斜二测画法主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．(2)三视图画法它包括正视图、侧视图，俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．(3)中心投影法一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影．立体几何中的图形很少用中心投影画法．画效果图时，主要用中心投影画法．识画图形是立体几何的一项重要基本功．通过本章的学习，要能够熟练进行三视图、直观图和实物的相互转化，熟练识读图形和画出图形．[例1]一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图(不写画法)，并求其表面积．[例2]一个不透明的正四面体物体被一束垂直于桌面的平行光线照射，则此正四面体在桌面上的正投影可能是下列的__________．(要求把可能图形的序号都填上)①正三角形②正方形③等腰梯形④对角线不相等的菱形二、柱、锥、台、球的表面积与体积1．①棱柱的所有侧面面积的和为棱柱的侧面积，侧面积与两底面积的和为棱柱的表面积，特别地S直棱柱侧＝ch(其中c、h分别为直棱柱的底面周长和高)S正n棱柱侧＝nah(a、h分别为正n棱柱的底面边长和高)②圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(r＋l)(其中r、l分别为圆柱底面半径和母线长)③柱体的体积V＝sh(其中s、h分别为柱体的底面积和高)V圆柱＝πr2h(r、h分别为圆柱底面半径和高)2．①棱锥的所有侧面面积的和为棱锥的侧面积，棱锥的侧面积与底面积的和为棱锥的表面积．S正n棱锥侧＝12nah′(其中a、h′分别为棱锥的底面边长和侧面等腰三角形的高(即斜高))②S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(其中r、l分别为圆锥底面半径和母线长)③V锥＝13Sh(其中S、h分别为锥体底面面积和高)V圆锥＝13πr2h(其中r、h分别为圆锥底面半径和高)3．①棱台可视作棱锥用平行于底面的截面截得的．棱台的表面积等于两底面积与侧面积的和．②S正n棱台侧＝12n(a′＋a)h′＝12(c＋c′)h′(其中a′、a、h′、c′、c分别为正棱台两底面边长．斜高和两底面的周长)③S圆台侧＝π(R＋r)l，S圆台表＝π(R2＋Rl＋rl＋r2)(其中R、r、l分别为圆台两底面半径和母线长)④V台＝13h(S＋SS′＋S′)(其中S、S′、h分别为台体的上、下底面积和高)⑤V圆台＝13πh(r2＋rR＋R2)(其中r、R、h分别为圆台两底面半径和高)4．①球的表面积S球＝4πR2②球的体积V球＝43πR3(其中R为球半径)5．①计算空间几何体的侧面积(或表面积)一般采用侧(或表)面展开的方法．②空间几何体的体积计算的基本原理即理论基础是祖暅原理，要特别注意．等底等高的三角形(平行四边形)的面积相等；等底面积、等高的两个柱体(锥体)的体积相等．一切几何体的面积、体积计算都以熟记常见简单几何体(即柱、锥、台、球)的面积、体积公式为基础，记熟公式是解题的前提．[例3]如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？三、折、展、卷、转、割补、等积变换是立体几何解决问题的特有技巧、方法和题型．应细细揣摩体会、把握．[例4](1)把边长为6π和4π的矩形卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为________．(2)把半径为2的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的体积为________．[例5]圆柱形钢锭的轴截面是边长为5m的正方形ABCD，从A到C拉一条绳子，则最短绳长为()A．10mB.52π2＋4mC．52mD．5π2＋1m[例6]如图，一扇形半径为4，中心角为240°，沿实线AB、BC、CD、DA′将阴影部分剪去，再沿虚线折成一个四棱锥O－ABCD，则四棱锥的体积为________．[例7]一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥容器内取出后，圆锥容器内水面的高是多少？[例8]把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正方体的体积．[解析]设熔制后的大铜球半径为r，43π(33＋43＋53)＝43πr3，∴r＝6(cm)，据题意：此正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体对角线的长，故正方体的棱长a＝2r3＝123＝43(cm)．∴V正方体＝a3＝(43)3＝1923(cm3)．