空间向量专题复习

新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里1空间向量本节重点：掌握空间直角坐标系，平面、空间向量相关知识点及用法空间直角坐标系学习结论：(1)空间中两点P1(Ｘ1，Ｙ1，Ｚ1)、Ｐ2(Ｘ2，Ｙ2，Ｚ2),则P1Ｐ2的中点P（121212,,222xxyyzz）(2)熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。（3）空间中两点P1(Ｘ1，Ｙ1，Ｚ1)、Ｐ2(Ｘ2，Ｙ2，Ｚ2)之间的距离为22212121212)()()PPxxyyzz（例题1、如图，长方体OABCDABC''''中，3OA，4OC，3OD'，AC''于BD''相交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．练习1、在xOy平面内的直线1xy上确定一点M，使M到点(651)N，，的距离最小．平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：),(yxyjxia3、向量的模：向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆zxyOABCB'C'D'A'P新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里24、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作a6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作ba；7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作ba//平行向量也称为共线向量8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则0AOB叫a与b的夹角说明：（1）当0时，a与b同向；（2）当时，a与b反向；（3）当2时，a与b垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1809、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则cos||||baba叫做a与b的数量积（或内积）规定00a11、向量的投影：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里3角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|Rabab||cos，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：1e，2e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,，使2211eea（1）．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得jyixa…………○1我们把),(yx叫做向量的（直角）坐标，记作),(yxa…………○2其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(yx特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0（2）若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使ab设),(11yxa，),(22yxb，则0//1221yxyxbaba3、两个向量垂直的充要条件设),(11yxa，),(22yxb，则002121yyxxbaba奎屯王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆奎屯王新敞新疆aaa奎屯王新敞新疆a奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里44、平面内两点间的距离公式（1）设),(yxa，则222||yxa或22||yxa（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A),(11yx、B),(22yx，那么221221||yyxxAB(平面内两点间的距离公式)5、两向量夹角的余弦（0）222221212121||||cosyxyxyyxxbaba三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质11(,)axy，22(,)bxy运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则（首尾相接，首尾连）),(2121yyxxbaabba)()(cbacbaACBCAB向量的减法三角形法则（首首相接，尾尾相连，指向被减）),(2121yyxxba)(babaBAABABOAOB向量的乘法实数λ与向量a的积是一个向量，记作：a（1）aa（2）0时，a与a同向；当0时，a与a异向；当0时，0a。任意方向),(yxaaa)(aaababa)(baba//奎屯王新敞新疆a奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里5向量的数量积cos||||baba，010a或0b时,0ba20a且0b时,bababa,cos||||2121yyxxba向量的数量积的几何意义：数量积ba等于a的长度与在a方向上投影cos||b的乘积abba)()()(bababacbcacba)(22||aa或22||yxa||||||baba0baba||||cosbaba线段的定比分点公式:设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或平移公式：设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则＝+a或曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量a与aa有关系是：aa是a方向上的单位向量奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆b奎屯王新敞新疆21PPPP12PP.1,12121yyyxxxOP211OP2OP.2,22121yyyxxxPOOP.,kyyhxx新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里6例题2、已知ABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量),(bacam，),(cban，且nm//（1）求B（2）若3,1ba，求ABC的面积练习2-1、已知三个点)3,4(),4,1(),1,2(DBA，点C在AB上，且CBAC2，连结DC并延长至E，使DECE41，则E点的坐标为（）A．（0，1）B．（-8，35）C．（0，1）或)311,2(D．（38，311）练习2-2、已知点A)5,(x关于),1(yPR对称点是)3,2(B，则点),(yx到原点的距离是（）A．13B．15C．4D．17空间向量及其运算本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量．(2)向量相等：方向且长度．(3)向量加法法则：．(4)向量减法法则：．(5)数乘向量法则：．2．线性运算律(1)加法交换律：a＋b＝．(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝．(3)数乘分配律：(a＋b)＝．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使．(3)直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使．4．共面向量(1)共面向量：平行于的向量．(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P．Rtyx,新希望培训学校资料MATHEMATICS心在哪里，新的希望就在哪里7共面向量定理的推论：．5．空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量．(2)空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使．空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使．6．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：．(2)空间向量的长度或模：．(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝．空间向量的数量积的常用结论：(a)cos〈a、b〉＝；(b)a2＝；(c)ab．(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律a·b＝；(b)分配律a·(b＋c)＝．例题3已知两个非零向量e1、e2不共线，如果AB=e1+e2，AC=2e1+8e2