空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用（复习课）刘微微学习目标：复习空间向量在立体几何中的应用-------证明平行与垂直关系-------求空间中的角-------求空间中的距离教学过程：导入：前面我们已经学习了空间向量在立体几何中的证明及计算问题，本节课我们将通过例题的形式对前面所学知识进行总结与复习。例题：在四棱锥ABCDP中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2AB，60BAD。（Ⅰ）求证：PACBD平面；（Ⅱ）若ABPA，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的值。解题思路：第一问利用线面垂直的定义找出PABD，再利用底面是菱形找出ACBD，再利用线面垂直的判定定理即可；第二问建立空间直角坐标系，计算两个空间向量的夹角余弦值的绝对值即为所求；第三问建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的数量积为零建立方程，即可解出PA的长.参考答案：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD.所以BD平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.如图：以O为原点，BD为x轴，AC为y轴，以经过点O与PA平行的直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyzP（0，—3，2），A（0，—3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）.所以).0,32,0(),2,3,1(ACPB设PB与AC所成角为，则66cos4||||2223PBACPBAC.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(BC设P（0，－3，t）（t0），则),3,1(tBP设平面PBC的法向量m(,,)xyz,则BCm0,BPm0ABCPDABCPDOzxy所以30,30xyxytz令,3y则.6,3tzx所以m6(3,3,)t同理，平面PDC的法向量n6(3,3,)t因为平面PCB⊥平面PDC,所以mn=0，即03662t解得6t所以PA=6备选例题：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1各棱长都等于a，E是BB1的中点.（1）求直线C1B与平面A1ABB1所成角的正弦值；（2）求证：平面AEC1⊥平面ACC1A1；（3）求点C1到平面AEC的距离.AABBCC111E答案：（1）46.（2）证明（3）23a.二、小结：解答方面：1．立体几何中的定义和定理要非常清晰熟练；2．建立空间直角坐标系和准确写出各个点的坐标非常熟练，选择合适的建系位置能够使坐标便于运算；3．注重培养运算求解能力，含字母，含参数等运算要能够熟练的化简和求解；4．注重培养逻辑推理能力，即推理的条件要写全，写到位，同时注意题目中每个条件的作用。知识点方面：内两不共线向量为平面、、的法向量分别为、设平面；的方向向量分别为、设直线21,,,1nbaml平行关系babaml////线线平行：0//ananl线面平行：nn////面面平行：垂直关系0babaml线线垂直：0021aal且线面垂直：0nn面面垂直：2、求空间中的角（1）异面直线所成的角ABCD,coscos________（2）直线与平面所成的角ABn,cossin________（3）二面角]2,0[21,coscosnn；],2(21,coscosnn(选取那个公式由图形决定)3、求空间中的距离（1）点面距离的向量公式平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=||||nnMP.（2）异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=||||nnMP.常态课教学有效性评价反馈表授课教师：刘薇薇授课班级：高二3授课时间：12月16日序号评价指标指导小组评价教师自评学生评价1教师进入课堂基本要求4.754.82有效导入4.344.63有效教学目标12.71514.54有效组织学生活动12.71314.15有效学法指导131314.56有效课堂提问16.71718.97有效教学语言979.68有效利用教学资源4.354.99有效小结7.3109.7合计84.78995.5综合得分：87.7评价等次：优秀数据反映出的问题最高分：100最低分：70老师对自己评价很客观，对常态课指标把握到位；希望刘老师将来能在如何把课堂教学目标内化为学生课堂学习目标再做些努力；通过引导调动学生课堂上的思维活动、讨论表达、动笔练习来提高学生课堂学习实效本节课的优点1、教师对数学知识把握准确，解释概念的本质，抓住了学生已有知识，层次性强。2、板书严谨规范，条理清晰，有利学生对知识理解和掌握。3、学生积极思考，对数学学习热情较高。4、课件简洁美观，帮助学生回顾核心知识与方法，有助于学生复习巩固本章节知识。5、教学亲切自然，教师语言简洁流畅，思维敏捷。改进建议1、语速可以适度放慢一些，给学生留足思考和回答问题的时间，给学生一些展示机会。2、复习内容涉及到全章节知识，容量较大，可以考虑将本节课拆成几个小专题，每节课解决一至两个专题，或直接通过综合性的习题复习相应知识与方法。3、可以设计学案，以学案导学，让学生动笔参与习题的分析与书写，养成学习习惯。4、学生提出问题时，应及时给予鼓励或肯定，调动学习积极性。教学反思（请根据以上数据和具体建议认真做课后反思）一、教学设计环节：设计背景：①在新课全部讲完之后的一节课；②针对3班同学在平时作业当中所出现的问题（证明立体问题时有些混乱），以及3班同学的基础、学习习惯；③第二天就是周末，同学们可以回家对这一阶段的学习进行全面的复习小结。出于以上种种原因的考虑，我设计了这节课，是想带着学生一起复习，教会学生怎么去总结。但是，通过这节课，我觉得这样设计有很大的弊端，正如评课中所叙述的：复习内容涉及到了全章节的知识，容量较大，在一节课中学生不能很好的掌握，要是分成几块去复习，以典型例题来复习相关的知识点，效果就会好很多了。二、教学过程中：准备不充分，想印给学生的题在U盘中找不到了，临时上网搜索竟然也没找到，影响了学习效率。应该把本节课的内容印成学案，这样就可以给学生更多的时间去思考，去规范书写，去讨论表达，锻炼学生的能力，养成良好的学习习惯。这是在以后的教学过程中必须要特别注意的，该印的的内容要提前印好。我要养成良好的习惯。要在课堂上充分发挥学生的主动性，充分调动学生的积极性，让学生能够在课堂上达到自省，要把时间交给学生，教师做适时适度的引导，组织学生思考问题，做到自我剖析，自我解惑，自我提高。对学生的回答要讲究技巧地抓住机会及时鼓励，调动学生的学习积极性。通过本节课，我觉得自己还有很多地方需要改进，要不断的思考，不断的学习，不断的探索，不断地加强教学基本功。再认认真真的备好每一节课，上好每一节课，要以学生为主体，从学生的角度出发去设计、上好每一节课。