空间向量在立体几何中的应用导学案

做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育1龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期:年月日第次时段:教学课题空间向量在立体几何中的应用—导学案教学目标考点分析1.理解平面法向量的概念、平面的向量表示的概念，会求平面的法向量．2.掌握点、线在平面内的射影概念、平面斜线的概念，能运用向量证明三垂线定理及其逆定理，并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直、线面垂直．4.掌握直线与平面所成的角的概念和公式，会利用向量求解线面角的大小．5.掌握二面角的概念并会用空间向量求两个平面所成的二面角6.了解距离的概念，会利用向量求点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离．重点难点直线与平面、平面与平面所成角的概念，掌握点与点，点与线，点与面的距离的求法教学方法讲练结合法、启发式教学教学过程3．2．2平面的法向量与平面的向量表示(1)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．已知平面的一个法向量)41,12,(yxa，又)2,21,3(),1,2,1(cb且cb,在内，则a＝()A．)41,2653,529(B．)41,5227,529(C．)41,261,529(D．)41,2653,5227(2．下列命题中正确的是()A．若n是平面ABC的一个法向量，则n和平面ABC内任意一条直线的方向向量垂直B．若n和平面ABC内两条直线的方向向量垂直，则n是平面ABC的法向量C．若n既是平面的法向量，又是平面的法向量，则∥D．若∥，则它们所有共同的法向量在一条直线上3．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N分别是PC、AB中点，则MN与平面PCD所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误．．的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育2(二)填空题5．已知)1,1,2(),2,0,1(ACAB，则平面ABC的一个法向量为____________．6．已知空间一点A(1，2，－1)，n)3,21,1(，空间一点M(x，y，z)满足0nAM，则x，y，z之间的关系是____________．7．已知向量OA(1，－7，8)，OB(0，14，16)，)cos81,sin71,2(c，∈(0，π)，若c平面OAB，则＝__________________．8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA16，M是AA1的中点，则CM____________(是，不是)平面AB1C1的一个法向量．9．下列命题中：(1)平面可以用平面内两条平行直线的方向向量表示；(2)平面的法向量不一定在一条直线上；(3)平面的所有法向量都是共线向量；(4)若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直．其中正确命题的序号是______________________________．(三)解答题10．已知AB(2，2，1)，AC(4，5，3)求平面ABC的单位法向量．11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1．做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育312．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．3．2．2平面的法向量与平面的向量表示(2)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．下列命题中，正确的命题有()(1)平面的每条斜线都垂直于这个平面内无数条直线；(2)若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直斜线在此平面内的射影；(3)若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；(4)若一条线段在平面外且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．A．1个B．2个C．3个D．4个2．P是边长为a的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD间距离，作PQ⊥CD于Q，则()A．Q为CD的中点B．Q与D重合C．Q与C重合D．以上都不对3．直角三角形ABC的斜边BC在平面内，顶点A在平面外，则三角形ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形只能是()A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过8个顶点中的任意3个可以作平面，其中与某一对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”，则这样的“有效垂面”一共有()A．4个B．6个C．8个D．10个(二)填空题5．从平面外一点A向平面引斜线AB、AC，斜足为B、C，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面成30°角，则线段AC长的取值范围是______．6．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于______．7．P为△ABC所在平面外一点，则在△ABC，△PAB，△PBC，△PCA中，直角三角形最多可能有______个．做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育48．如图，E、F分别是正方体的ADD1A1面、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体面上的射影可能是下图中的______．(要求：把可能的图的序号都填上)9．已知平面的一条斜线l1和另一条直线l2在平面内的射影分别为图形F1F2，给出下列关于F1，F2的形状描述：(1)为两条相交直线；(2)为两条平行直线；(3)依次为一个点和一条直线；(4)依次为一条直线和一个点；(5)为两个点；(6)为一个点；(7)为一条直线．则其中可能正确的描述有______．(填上所有可能正确的描述序号)(三)解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1A，AB上的点，若∠NMC1＝90°，求证：MB1⊥MN．11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．12．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，E是AB1的中点，点F在BC上，满足BF∶FC＝1∶3，求证：EF⊥BC．做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育53．2．3直线与平面的夹角(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°2．矩形ABCD中，AB＝1，2BC，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于()A．23B．25C．510D．10104．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为()A．21B．36C．33D．23(二)填空题5．直角三角形ABC的斜边AB在平面内，AC和BC与所成的角分别为30°，45°，CD是AB边上的高，CD与所成的角为______．*6．自平面外一点P，向平面引垂线段PO及两条斜线段PA、PB．它们在平面内的射影长分别为2cm和12cm，且这两条斜线与平面所成的角相差45°，则垂线段PO的长为______．7．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为,2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是______．8．如图所示，∠BOC在平面内，OA是平面的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝2a，则OA与平面所成的角是______．9．如图所示，三棱锥P－ABC中侧面PAC与底面ABC垂直．PA＝AC＝PC＝3．AB＝BC3，则AC与平面PBC所成角的余弦值为________.做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育6(三)解答题10．四面体S－ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，(1)求BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．11．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点，求CM与平面CDE所成的角．*12．四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，SA＝SB3，求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育73．2．4二面角及其度量(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．已知二面角－l－的大小为，直线a，a与所成的角为，则()A．≥B．≤C．当＞90°时，＞；当≤90°时，≤D．与的大小关系不确．2．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补3．如图所示，PA＝PB＝PC，且它们所成的角均为60°，则二面角B－PA－C的余弦值是()A．21B．31C．33D．234．在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，ABBC21，这时二面角B－AD－C的大小为()A．60°B．45°C．90°D．120°(二)填空题5．△ABC的边BC在平面内，A在内的射影是A1，设ABC的面积为S，它和平面交成的一个二面角的大小为(锐角)，则△A1BC的面积是______．6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，则二面角P－BC－A的大小是______．7．已知二面角－AB－是直二面角，P是棱AB上一点，PE、PF分别在面，内，∠EPB＝∠FPB＝45°，那么∠EPF的大小是______．8．给出下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；(2)过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直；(3)垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；(4)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面．那么这两个二面角的平面角相等或互补．其中正确的命题的序号是______．9．已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PA＝3，AB＝2，3BC，则二面角P－BD－A的正切值为______．(三)解答题10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝1，AD＝DC＝3，在线段A1C1上有一点Q，且做教育做良心中小学1对1课外辅导专家备课教师：刘登骏教育是一项良心工程——深圳龙文教育811131ACQC，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小．11．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝32，BC＝6，求二面角A－PC－D的余弦值．*12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为4π．3．2．5