空间向量在立体几何解题中的应用

三江中学论文集1空间向量在立体几何解题中的应用杨涛(广西三江侗族自治县三江中学545500)【摘要】根据空间向量基本定理,空间中任何一个向量均可以由不共面的三个向量线性表出.因此对于立体几何里面的线线,面面等之间的关系问题,只要已知三个向量的模及他们之间的夹角,其他向量均可由它们线性表出,再进行向量运算来解决.【关键词】空间向量基本定理,向量运算,立体几何中学的立体几何主要研究点、线、面之间的关系，围绕他们之间的考点无非是距离和夹角.多数距离以异面直线呈现，而夹角则以二面角形式出现，解决这一问题传统方法要求较高.异面直线距离通常要能做出公垂线，二面角则要能做出二面角的平面角才能求解，但在找二面角过程中困难却是蛮大的，因而是高考必测知识点之一.中学教材第二册下（B）引入空间向量，我们知道向量的数量积定义为它们的模和夹角的乘积，这样空间的距离和角完全可以通过向量的数量积来解决.一、立体几何向量解法的原则因为空间位置关系最终都反映于距离和夹角，因此完全可以通过对向量的运算来说明它们之间的关系.由空间向量的基本定理我们知道若有三个不共面的空间向量，则它们形成一组基，空间中任何一个向量都可以由它们线性表出.于是当我们要求某两条直线之间的位置关系，可以将它们用已知的三个不共面向量表示出来，再进行数量积运算，从而确定它们之间的关系.因而立体几何的向量解法基本原则就是已知一组基.当要求点与面的距离或者是二面角时，显然不再是线线之间的关系，我们可以通过引入法向量从而把点面距离和二面角转化为线线关系的问题，继而用数量积来解决它们，这样得到另一个原则就是求平面法向量.二、应用举例我们通过举一个例子看如何惯窃上述原则.例如图所示，四面体ABCD中，E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，2ABAD.（1）求点E到平面ACD的距离.分析：假设过点E的向量n为平面ACD的法向量，欲求E点到平面ACD的距离只需求CE在n投影即可.我们知道n垂直于平面ACD，因而它垂直平面ACDABDCE图1三江中学论文集2所有直线，不妨以,,DADBDC为一组基，则1()2CECDDB，因为2ABAD，2DB，2CACBCDBD，所以2cos,2DADB，1cos,2DBDA，2222cos,24DCDAACDCDADCDA.我们来求法向量n，在,,DADBDC基底下，设nxDByDCzDA，根据法向量定义得00nDBnDA化简得到如下方程220240xyzxyz令zt解之得71,,63xtytzt，于是7163ntDBtDCtDA.求E到平面ADC距离22171()()21263771()63tDBDCDBDCDACEnhntDBDCDA.在上述解题过程中我们没有建立直角坐标系，而是任取空间三个不共面向量作基底，很显然在立体几何所给的已知条件中这点很容易具备的，因而这个方法具有很普遍的适应性.还是这题条件，我们来尝试另外一个重要问题.（2）接上例求二面角A—DC—B的大小.如图，容易知道二面角A—DC—B应该等于平面ACD法向量n和平面DBC法向量m所成角，因此只需把平面DBC法向量求出即可.设BDCE图2A三江中学论文集3muDBvDCwDA，由0202400mDBuvwuvwmDC解之得1,0,2uwvww于是12mwDBwDA，令二面角A—DC—B等于，有22711()()632cos711()()632tDBtDCtDAwDBwDAnmnmtDBtDCtDAwDBwDA=217.通过上例我们发现立体几何的点面，线面，面面之间的关系都可以统一为线线之间的关系，而要研究线线关系则可以通过它们的方向向量入手，通过数量积来解决.而建立这样的关系原理来自于空间向量的基本定理，以及法向量.三、直击高考2010年高考题：如图，直三棱柱111ABCABC中，1,ACBCAAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB，（1）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；（2）设异面直线1AB与CD的夹角为045，求二面角111AACB的大小.分析：题目没有具体给出线段的长度，它们之间比例关系需要进一步求解，考虑到AC=BC这个条件，可知三角形ABC为等腰三角形，取AB中点，连接CF得到CF垂直AB，另外1AAAB并且是直三棱柱，可知侧面是正方形，这样可以ABCDEA1B1C1F三江中学论文集4把它们之间比例关系求出.解：（1）假设1,,AAaABbACc为基底，在正三棱柱中有,abac.因为三棱柱侧面为正方形，不妨设1ab.因为0DEEAABBD，所以3111()4244DEabbaab，1ABab，由BDBFFCCD，得1122CDBDBFFCabFC.111()()022DEABabab1DEAB221111()()442211()()()8411()()841()4DECDababFCabababFCabaFCbFCbFCaFC因为FC为三角形ABC中线，FC和b垂直，且三角形ABC为直棱柱的底面，因而FC和侧棱a也垂直.于是1()04bFCaFC，DECD综上所述，DE为异面直线1AB与CD的公垂线.（2）令二面角11AACB，我们仅需要把平面11AAC和平面11ACB法向量计算出来就可以用数量积来求.首先要求基向量c的模和它与b的夹角，因为异面直线1AB与CD的夹角为045，所以有012111()()122cos452()abFCabCDABCDABCDCDab即1CD，两边平方得：三江中学论文集522111()122222abFCFCFC21211232442cbFCcbFC它们的夹角余弦值132cos,31244bcbcbc.令,mxaybzcnuavbwc分别为平面11AAC和平面11ACB法向量，根据法向量定义可知0()00()0manabmcnac和，解之，得32mzbzc，12nwawbwc22311()()1222cos313515()()222215arccos15zbzcwawbwcmnmnzbzcwawbwc解完.四、结束语可见不管怎样出题，我们只要找基底，把要求向量用基底线性标出，求平面的法向量，再用数量积，一般都能轻易的解决问题.