空间向量基本知识点

高二理科空间向量补充编辑：吴迪（旭）1第十二讲空间向量基本理论知识梳理：1．空间向量的有关概念（1）空间向量：空间里具有大小和方向的量叫做向量，记为a。（2）空间向量的长度或模：空间向量也可以用有向线段来表示，有向线段的长度教做向量的长度或模，记为a。（3）零向量和单位向量：长度为0的向量和长度为1的向量分别为零向量（规定：方向任意）和单位向量（4）相等向量和相反向量：长度和方向相同的向量为相等向量；长度相同方向相反的向量为相反向量。2．空间向量加减与数乘运算+：baABOAOB—：baOBOABA数乘：)(RaOP运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(3共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．Ifa平行于b,then记作ba//．Thatmeans:当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使a＝b.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式:tOAOPa．其中向量a叫做直线l的方向向量.5．共面向量：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。Thatmeans：空间任意的两向量都是共面的。6．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb奎屯王新敞新疆推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①(①式叫做平面MAB的向量表达式)7.空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc其中：{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量。推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC8.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互高二理科空间向量补充编辑：吴迪（旭）2相垂直，记作：ab.9．向量的数量积：ab||||cos,abab．向量的几何意义：已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.可以证明AB的长度||||cos,||ABABaeae．性质：（1）||cos,aeaae．（2）0abab．（3）2||aaa．运算律：（1）()()()ababab（2）abba（交换律）（3）()abcabac（分配律）．10.空间向量的正交分解及其坐标表示:（1）表示方法：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.（2）运算：令),,(321aaaa,),,(321bbbb，则：：),,(332211babababa数乘：))(,,(321Raaaa数量积：332211babababa当ba时，0332211babababa（3）共线向量：a∥)(,,332211Rbababab332211bababa（4）模：222321aaaaaa(常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)（5）夹角的运算：232221232221332211||||,cosbbbaaababababababa（6）两点之间距离公式：distance212212212)()()(zzyyxx11.法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.?_?Thatmeans法向量的求法：1）：利用几何体中已经给出的有向线段，只需证明线面垂直。2）：几何体中没有具体的直线，可以采用待定系数法，求法如下：(*^__^*)Step1:设出平面的法向量为),,(zyxnStep2：找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(321aaaa，),,(321bbbbStep3：根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组：00bnanStep4：解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。