《数理金融》习题参考答案

1《数理金融分析—基础原理与方法》习题参考答案第一章（P52）题1-1希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程（1.2.13）式后面的一个自然段。题1-2欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程（1.5.9）式和方程（1.5.10）式后面的一个自然段。题1-3如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。那么一年后你欠了多少钱？解：每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为：1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为：21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)三个季度后你的欠款为：231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40题1-4许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。如果在一年的年初支付金额为P，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？解：这样的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P题1-5如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：20.050.05effPePre10.05127P即有效利率是每年5.127%。题1-6一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的6年现金流如下（以1000美元为单位）：在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12；在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000美元的运转成本；在第三年的成本为新机器22000美元的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了3年的机器价值的负值。其他的3个现金流序列可以通过相似的方法推得。对于年利率r=0.10，第一个现金流序列的现值为234578910422+46.0831.1(1.1)(1.1)(1.1)(1.1)其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是46.083，43.794，43.760，45.627因此，公司应在两年后购买新机器。3题1-7一个打算在20年后退休的人，决定今后240个月每月月初在银行存款A，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息一次的名义年利率为6%，那么A的值应该为多少？解：r=0.0612=0.005是月利率。令11r，他所有存款的现值为24022391AAAAA1类似地，如果W是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为3602402415992401这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱）24036024011AW11对于W1000，11.005，可以得到A360.99这就是说，在240个月中每月存款361美元，就可以使得他在随后的360个月中每月提取1000美元。注在这个例子中，我们使用了以下的代数恒等式n+12n1b1+b+bb1b为了证明这个等式，我们令2nx=1+b+bb由于注意到2nx-1=b+bbn-1b(1+bb)nb(xb)因此，n1(1-b)x1b4这就证明了该等式。利用相同的方法，或者令n趋向于无穷，可以证明当b1时有211+b+b1b题1-8终身年金给其持有者在未来每一年年末领取数额c款项的权利。这就是说，对于每一个i=1,2,，在第i年的年末要向持有者支付c，如果利率为r，每年计息一次，那么这个现金流序列的现值是多少？解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金cr，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于cr的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为cr。这个结论可以由下式推得：23cccPV=1+r(1r)(1r)2c1111r1r1rc111r11rcr题1-9假设你向银行借款100000美元买房，负责贷款的经理告诉你可以以0.6%的月利率贷款15年，每月分期偿还。如果银行要收取贷款初始费用600美元，房屋检验费400美元，以及贷款额的一个百分点，那么银行提供的贷款的实际年利率是多少？解：首先我们考虑这个贷款的每月抵押支付，记之为A。由于100000美元的贷款需要在未来的180个月中以月利率0.6%偿还，所以2180A[]100000其中=11.006。因此，5180100000(1+)A910.05(1)因此如果你实际得到了100000美元，在180个月中每月偿还910.05美元，那么实际月利率应该是0.6%。但是考虑到银行收取的初始贷款费用、房屋检验费以及一个百分点的贷款额（这意味着收到贷款时，银行将收取名义贷款额100000美元的1%），你实际只得到了98000美元。因此有效月利率应该满足下式的r的值：2180A[+]98000其中1(1)r。因此，180(1)107.691或者，由1r得180111107.69rr利用实验误差法求上面方程的数值解（由于0.006r，很容易计算）得出：0.00627r因为12(10.00627)1.0779，所以0.6%的名义月利率对应的有效年利率约为7.8%。题1-10假设一个人抵押贷款的金额为L，需要在今后n个月的每月月末偿还等额A。贷款的月利率是r，每月计息一次。)a已知L，n，r，那么A的值是多少？)b在第j月的月末支付已经完成后，还剩下多少贷款的本金？)c在第j月的支付中，多少是利息的支付，多少是本金的扣除（这很重要，因为有些合同允许贷款提前偿还，偿还的利息部分是可减免税的）？解：n个月支付的现值为：6211111(1)(1)111nnAAAArrrrrr[1(1)]nArr因为这必须等于贷款额L，我们可以看出，(1)1(1)1nnnLrLaaAra（1-1）其中，1ar例如，贷款100000美元，需要以每月计息一次的名义年利率0.09在360个月中偿还，那么0.09/120.0075r，每月支付（以美元计）为360360100000(0.0075)(1.0075)804.62(1.0075)1A令jR表示在第(0,,)jjn月月末支付完当月偿还额后还欠的本金余额，为了确定这几个量，应该注意到，如果在第j月的月末欠款为jR，那么在第1j月月末未发生支付前的欠款应该是(1)jrR。由于每个月末的支付额为A，所以有1(1)jjjRrRAaRA从0RL开始，我们得到：1RaLA；21RaRA()aaLAA2(1)aLaA；32RaRA2((1))aaLaAA32(1)aLaaA。7一般地，对于0,,jn，有1(1)jjjRaLAaa11jjaaLAa(1)1njjnLaaaLa（由等式（1-1））()1njnLaaa令jI和jP分别表示在第j月月末支付的利息和本金的扣除额。由于1jR是到上一个月月末的欠款额，因此有1jjIrR1(1)()1njnLaaaa和jjPAI1(1)[()]1nnjnLaaaaa1(1)1jnLaaa可以用下面的式子验证上面的结果：1njjPL我们发现，相邻月间返还的本金额以倍数1ar增长。例如，在一个期限为30年、利率是每月计息一次的9%的年名义利率、本金为100000美元的贷款中，第一个月支付的804.62美元中只有54.62美元是贷款本金的扣除额；而其余的都是利息。在接下来的每一个月，用于偿还本金的支付额以倍数1.0075增长。题1-11已知8121()11srsrrss求出收益曲线和现值函数。解：改写()rs为122()1rrrsrs，0s则可以给出以下的收益曲线12201()1trrrtrdsts122log(1)rrrtt因此，现值函数为()exp{()}Pttrt122exp{}exp{log((1))}rrrtt122exp{}(1)rrrtt第二章（P109）题2-1在金融学中，资产和资产结构是如何定义的？解：参考定义2.3.4和定义2.3.5。题2-2不确定性与风险二者是什么关系？风险与协方差的基本关系是什么？解：本题第一问可参考2.4节第一个自然段，第二问答案就是本章（2.4.15）式。题2-3什么是公司的资本结构和企业（或公司）价值？解：第一问即2.6.1第一自然段中：公司的资本结构是指其债务、权益和其它融资工具的相互组合及其组合中的比例关系。公司理财决策的目的是确定最佳资本结构，使之公司和投资人的财富价值实现最大化。第二问企业（或公司）价值即：企业债券和股票的收益率是对投资人而言的，但对于企业来说，它们则是成本。一般把企业债券和股票的市场价值总和称为企业的价值。9习题2-4M-M定理的基本含义是什么？解：即（2.6.6）式后面的的自然段：企业的债务与股票的总价值等于在各种状态下企业收益的现值，这个现值是按照相关自然状态下一美元的要求权价格计算的，因此，总价值E+B与债务对股票的比例无关。这就是著名的莫迪利亚尼-米勒定理的结论。题2-5在金融学中，完备市场的条件是什么？市场有效性的基本条件是什么？解：第一问可见2.7.4完备市场的具体假设条件这部分。第二问参考(2.7.10)式，即：各种资产的预期收益率相等。就是完备市场有效性的基本条件。题2-6考虑将100的资本投资到两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为：10.15r，10.20v；20.18r，20.25v若两个回报率的相关系数0.4，投资者的效用函数为：0.005()1xUxe求这两个证券的最优组合。解：设1wy，2100wy，由式（2-1）1[]niiiE得：[]1000.150.18(100)1180.03EWyyy。又由于12(1,2)0.02cvv，由式（2-2）2211()(,)nniiijiijiVarWwvwwcij得：22()(0.04)(100)(0.0625)2(100)(0