空间点线面之间的关系

空间点线面与线面平行、面面平行第1页共10页知识点回顾：1、“∈”和“”的区别2、公理们及推论：公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（线在面内）公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.（点在线上）公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.（平面确定）推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行传递）3、直线的位置关系：共面平行（没有公共点）(1)直线与直线相交（有且只有一个公共点）异面(既不平行，又不相交)线在平面内（有无数个公共点）(2)直线和平面直线不在平面内平行（没有公共点）(直线在平面外)相交（有且只有一公共点）(3)平面与平面相交——有一条公共直线(无数个公共点)平行——无公共点4、线线平行：中位线定理、平行四边形、比例线段等。（后面学到的性质：线面平行、面面平行、线面垂直）5、线面平行：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.判定：①线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.（线线平行推出线面平行）②两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.（线面平行推出线线平行）6、面面平行：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.判定：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.①面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.（线面平行推出面面平行）②推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.性质：两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行推出线线平行）考点分析：一、平面1．下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]①④正确，故选B.2．三条直线两两相交，可以确定平面的个数为()空间点线面与线面平行、面面平行第2页共10页A．1B．1或2C．1或3D．3[答案]C[解析]三条直线共点时，可以确定三个或一个平面，三条直线不共点时，确定一个平面，∴选C.3．直线a及不在直线a上的不共线三点，最多可以确定平面的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]三个点A，B，C分别与直线a确定一个平面共3个，三点A，B，C确定一个平面ABC，这时最多为4个．4．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线的条数是()A．一条B．两条[来源:学+科+网]C．三条D．一条或三条[答案]D5、下列四个命题：①三点确定一个平面[来源:学科网ZXXK]②一条直线和一个点确定一个平面③若四点不共面，则每三点一定不共线④三条平行线确定三个平面其中正确结论的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析]因为不共线．．．三点确定一个平面、一条直线与线外．．一点确定一个平面，故①②均不对；在平面α内任作三条平行线，可知④错；空间四点中，若有三点共线，则这条直线与第四点必共面，即这四点一定共面，∴③正确，故选A.二、位置关系1．（公理一）若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内[答案]D[解析]∵直线上有两个点在平面外，∴直线在平面外，∴直线与平面相交，或直线与平面无公共点．故选D.2．下面四个命题中，正确的有()①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．②空间中四点A、B、C、D，惟一确定一个平面，则必定有三点不共线．③若四边形有两个对角是直角，则这个四边形是圆内接四边形．④四边相等的四边形是菱形．A．1个B．2C．3个D．4个[答案]A[解析]①三点共线时，两平面可能相交；②若四点惟一确定一个平面，则至少有三个点不共线；③④都把平面几何的结论搬到立体几何中来，都不对，故只有②对．3、设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β空间点线面与线面平行、面面平行第3页共10页③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α[来源:学_科_网]④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[来源:Z*xx*k.Com][答案]D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，[来源:学科网]又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.4．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中()A．AB∥CDB．AB∥EFC．CD∥GHD．AB∥GH[答案]C[解析]折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合，显见CD∥HG.三、位置关系证明（点共线）1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别在棱AB、BB1、CC1上，且PD、QR相交于点O.求证：O、B、C三点共线．[解析]∵QR∩PD＝O，∴O∈QR且O∈PD∴O∈面BCC1B1且O∈面ABCD，又面ABCD∩面BCC1B1＝BC∴O∈BC∴O、B、C三点共线．[来源:Zxxk.（点共面，线共面）2、已知M、N、P、Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱AB、BC、C1D1、C1C的中点．求证M、N、P、Q四点共面．空间点线面与线面平行、面面平行第4页共10页[证明]如图所示，连结MN并延长交DC延长线于O，则△MBN≌△OCN，所以CO＝MB.连接PQ并延长交DC延长线于O1，则△PC1Q≌△O1CQ，所以CO1＝PC1.又因为MB＝PC1，所以CO＝CO1，所以O与O1重合，所以PQ、MN相交于点O，所以M、N、P、Q四点共面．*3、在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如右图．(1)求证：D、B、E、F四点共面．(2)设直线AC1与平面BDEF的交点为M，证明P、Q、M三点共线．[解析]由于E、F为中点，∴EF∥B1D1，又BD∥B1D1，∴EF∥BD，∴E、F、B、D四点共面(2)在平面ACC1A1中，AC1与PQ必相交于一点R，∵Q∈EF，P∈BD，∴P、Q∈平面BDEF，∴PQ⊂平面BDEF，∵R∈PQ，∴R∈平面BDEF，故R就是直线AC1与平面BDEF的交点M，四、异面直线1、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交[来源:Zxxk.Com]C．平行D．异面或相交[答案]D如图，a、b为异面直线，c、d分别与a、b都相交．图(1)中c、d异面，图(2)中c、d相交．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]A[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.[来源:学§科§网Z§X§X§K]空间点线面与线面平行、面面平行第5页共10页、2、过空间一点P作与直线l成45°角的直线共有()A．1条B．2条C．4条D．无数条[答案]D[解析]如图，∠APO＝45°，l∥PO，以PO为轴旋转PA，则PA总与PO成45°角，从而l与PA成45°角，这样的直线PA，即圆锥的母线所在直线有无数条．3．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连结A1B.∵△A1DB为正三角形，∴∠A1DB＝60°.4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝25，PR＝3，则AC和BD所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°[答案]A[解析]如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，[来源:学科网ZXXK]∴∠PQR为AC和BD所成角又PQ＝12AC＝2，QR＝12BD＝5，RP＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.五、线面平行1．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交[答案]D∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β∥α，则b∥α，如果β不平行α，则b与α相交．2．下列命题中正确的是()①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面②直线l、平面α与同一条直线m平行，则l∥α③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行A．①B．③C．①③D．①②③[答案]B[解析]举反例，即特例法①当点在一条直线上时，不存在；②l⊂α，m∥l时，②错；③两直线a、b无公共点，有两种情况：i)a∥bii)a、b异面，都存在平面α经过直线b，且α∥a故选B.3．给出下列结论(1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．(2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行．空间点线面与线面平行、面面平行第6页共10页(3)a、b是异面直线，则过b存在惟一一个平面与a平行．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析](1)错(2)错(3)正确在b上取一点B，过这点平行于a的直线只有一条a′，b与a′确定唯一平面α，且a∥α.4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是()A．EF∥平面BB1D1DB．EF与平面BB1D1D相交C．EF⊂平面BB1D1DD．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断[答案]A[证明]取D1B1的中点O，连OF，OB，[来源:学科网]∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D，故选A.5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______．[答案]相交[解析]因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．六、面面平行1．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面()A．平行B．相交C．平行或相交D．平行或在平面内[答案]B2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线l、m空间点线面与线面平行、面面平行第7页共10页B．α内有三个不共线的点到β内的某三个点的距离相等C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β[答案]D3．下列命题中，正确命题的个数是()①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面A．1