立体几何中常用的数学思想方法

第1页（共3页）立体几何中常用的数学思想方法郑云数学思想是数学的灵魂，是同学们学习过程中最需要总结的法宝，下面例析数学思想方法在立体几何中的应用。一.分类讨论的思想例1.不共面的4个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）。A.3个B.4个C.6个D.7个解：把不共面的4个定点看成四面体的4个顶点，平面α可分两类。第一类，如图1所示，4个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类α有4个。第二类，如图2所示，4个定点分布在α的两侧各2个，此类α有3个。综上，共有4+3=7（个），故选D。二.转化的思想化归与转化的思想在立体几何中随处可见，特别是空间问题平面化，如空间中的角与距离转化为平面中的角与距离。例2.一个与球心距离为1的平面截球所得的截面面积为，则球的表面积为（）A.82B.8C.42D.4解：如图3所示，作出球的大圆截面图，由截面小圆的面积为即r2，得r1Rr1222则SR球482，应选B。图3第2页（共3页）三.函数的思想例3.已知圆锥的底面的半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A.22RB.942RC.832RD.322R解：如图4所示，设内接圆柱的半径为rrR()0，高为h则有hRRrR3，得hRr3()。图4∴当时，全面积最大，最大值为，故选。圆柱全SrrhrrRrrRrrRRRrRRB2226432434949434942222222()()四.方程的思想例4.已知正三棱锥PABC的体积为723，侧面与底面所成的二面角为60°。（1）证明：PABC。（2）求底面中心O到侧面的距离。（1）证明：取BC边的中点D连结AD、PD，则ADBCPDBC，故BCAPD平面，因此PABC。（2）解：如图5所示，由（1）可知平面PBCAPD平面则PDA是侧面与底面所成二面角的平面角第3页（共3页）由题意知点O到各个侧面的距离相等过点O作OEPD，则OE就是点O到侧面PBC的距离设OE为x，由题意可知点O在AD上则∠°，PDOOPx602ODxBCxSxxABC2343444322，，△()图572313432833323··，xxxx底面中心O到侧面的距离为3。