立体几何中的向量方法导学案4--空间距离的求法

立体几何中的向量方法导学案4---空间距离的求法1．已知a，A，点A到平面的距离为m，点A到直线a的距离为n，则()(A)m≥n(B)m＞n(C)m≤n(D)m＜n2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M是棱A1A的中点，O是BD1的中点，则MO的长为()(A)33(B)22(C)2(D)363．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则P到矩形对角线BD的距离()(A)513(B)517(C)2921(D)129514．已知直线a∥平面，且a与平面的距离为d，那么到直线a的距离与到平面的距离都等于d的点的集合是()(A)一条直线(B)三条平行直线(C)两条平行直线(D)两个平面5．棱长为4的正方体内一点P，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P到正方体中心O的距离为______.6．线段AB在平面外，A，B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点C到平面的距离为______．7．二面角－l－为60°，点A∈，且点A到平面的距离为3，则点A到棱l的距离为8．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则直线BC到平面AB1C1的距离为______．9．如图，正方体的棱长为1，C，D分别是两条棱的中点，A，B，M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是______．10．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，点E，F分别是CC1，A1D1的中点．(1)求EF的长；(2)求点A到直线EF的距离．11．正四棱锥S－ABCD的所有棱长均为2，E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．(1)求证：BD∥平面EFG，并求出直线BD到平面EFG的距离；(2)求点C到平面EFG的距离．12．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，BB1＝3．求两个平行平面AB1D1与平面BDC1之间的距离．13．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AEC1F为平行四边形且AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．14.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．立体几何中的向量方法练习4---距离1．C2．B3．A4．C5．3以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，可得点P的坐标为(1，1，3)，中心O的坐标为(2，2，2)，所以3||),1,1,1(POPO．6．1或2分A，B两点在平面同侧和异侧两种情况讨论．7．328．a229．32如图，建立空间直角坐标系，可得AM=(0，1，0)，平面ABCD的法向量为m＝(－2，2，－1)，32||||mmAMd．10．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，2)，F(1，0，4)．EF=(0，－2，2)，所以3)2(21||222EF．1737|,cos|),4,0,1(EFAFAF．所以173262sinEFAF，sin||AFd173262|,EFAF，即点A到直线EF的距离为2632．11．解：(1)因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以EF∥BD．又EF平面EFG，BD平面EFG，所以BD∥平面EFG．如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，－2，0)，S(0，0，2)，E(22，22，0)，F(22，－22，0)，G(0，22，22)．设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，)22,0,22(),0,2,0(ECEF,可得m＝(1，0，1)，)0,22,22(EB，所以点B到平面EFG的距离为21||||mmEBd．即直线BD到平面EFG的距离21．(2)dEC),0,22,223(23||||mmEC．12．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，B1(1，2，3)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，设平面AB1D1与平面BDC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，1AD(－1，0，3)，1DB＝(1，2，0)．0203yxzx，设x＝6，则y＝－3，z＝2，所以m＝(6，－3，2)．平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于点到B平面AB1D1的距离，AB＝(0，2，0)，所以76||||mmBAd．平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于76．13．解：(1)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设，F(0，0，z)．∵AEC1F为平行四边形，∴1ECAF，(－2，0，z)＝(－2，0，2)∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴BF＝(－2，4，2)，62||BF．(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，所以设n1＝(x，y，z)．由0011AFAEnn，得,022,04xxzy设y＝1，则x＝－4，z＝－4，∴n1＝(－4，1，－4)．又11334||||),3,0,0(1111nnCCdCC∴C到平面AEC1F的距离为11334.14.解取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝3，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)．(1)设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，则BC→＝(1，3，0)，BM→＝(0，3，3)，由n⊥BC→得x＋3y＝0；由n⊥BM→得3y＋3z＝0.取n＝(3，－1,1)，BA→＝(0,0,23)，则d＝|BA→·n||n|＝235＝2155.(2)CM→＝(－1,0，3)，CA→＝(－1，－3，23)．设平面ACM的法向量为n1＝(x，y，z)，由n1⊥CM→，n1⊥CA→得－x＋3z＝0，－x－3y＋23z＝0，解得x＝3z，y＝z，取n1＝(3，1,1)．又平面BCD的法向量为n2＝(0,0,1)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝15.设所求二面角为θ，则sinθ＝255.