立体几何基础知识与基本方法归纳

立体几何基础知识与基本方法归纳一、立几知识整理一、有关平行的证明1、线∥线⑴公理4⑵⑶⑷l1∥l2l1∥αα∥β1ll1∥l31ll1∥l21ll1∥l2l1∥l2l2∥l3α∩β=l22l2l线∥线线∥线线∥面线∥线面∥面线∥线同垂直于一个平面线∥线2、线∥面⑴⑵aα∥βba∥αa∥βa∥ba线∥线线∥面面∥面线∥面3、面∥面⑴⑵abaAbaα∥βα∥βa∥αab∥β线∥面面∥面同垂直于一直线面∥面二、有关垂直的证明1、线⊥线⑴⑵a三垂线定理⊥射影⊥斜线ba平面内直线b逆定理⊥斜线⊥射影（线⊥面线⊥线）（线⊥线线⊥线）2、线⊥面⑴⑵⑶⑷aba∥bα∥βaAbalblaalallblla(线⊥线线⊥面)3、面⊥面aa（线⊥面面⊥面）三、有关“角”和“距离”的计算异面直线所成角⑴定义：⑵范围：（90,0）⑶求法：①平移法②取点法③垂直法④补体法⑤向量法线与面所成角⑴定义：⑵范围：]90,0[⑶求法：①射影法②公式法③向量法面与面所成角⑴定义：⑵范围：[0,180]⑶求法：①取点法②三垂线定理法③公式法④垂面法⑤拓展法⑥向量法。点到面的距离①垂线法②等积法③转移法④向量法二、常用的重要结论：1、平面外一点P到平面ABC上三点A、B、C的距离相等，则P在平面ABC内的射影O是△ABC的外心，特别地：若△ABC是直角三角形是，则O是斜边的中点；若△ABC是等边三角形时，O是△ABC的中心；若P到△ABC三边的距离相等，则P在平面ABC内的射影O是△ABC的内心；若PA、PB、PC两两垂直，则P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心。2、边长为a的正三角形的高为a23，外接圆半径为a33，内切圆半径为a63，面积为243a。3、若∠POA=∠POB,则OP在平面AOB上的射影是∠AOB的平分线4、若平面AOB⊥平面BOC,设∠AOB=1,∠BOC=2,∠AOC=,则12coscos.cos5、若ABC的在平面'''CBA上的射影是'''CBA，平面ABC与平面'''CBA所成的二面角为则ABCCBASS'''cos。若正棱锥侧面与底面所成角为，则侧底SScos。6、利用法向量求“角”或“距离”的公式：（1）求直线与平面所成角：若AB为平面的斜线，n为平面的法向量则斜线AB与平面所成的角满足sinABnABn；（2）求二面角：记为二面角l的值，12,nn分别是平面、的法向量，则1212cosnnnn；（3）求P点到平面的距离：||||nnPMPN，（N为垂足，M为斜足，n为平面的法向量）（4）求两异面直线AB与CD的夹角：||cos||||ABCDABCD；（5）求线段的长度：222212121ABxxyyzz。7、（1）计算简单多面体棱数E的方法：①2EVF；②E等于各面多边形的棱数之和的一半；③E等于顶点数与共顶点的棱数之积的一半。（2）凸n边形的内角和为(2)180n，根据此公式可推出：n个顶点的凸多面体的所有面的所有内角和为(2)360n。