立体几何空间向量的计算

立体几何空间向量的计算【知识梳理】空间中任意两个向量必共面.空间中两向量的加减、数量积、数与向量积的运算及运算律与平面向量完全一样.共面向量定理和空间向量分解定理由“二维”扩充到“三维”.1.向量的有关概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、相等（反）的向量、共线（平行）向量、共面向量、向量的夹角、向量的线性表示、法向量、方向向量.2．向量的运算及几何表示：（1）加法：___________；（2）减法：______________；（3）数乘向量：（4）向量的数量积：①定义：cos,ababab；②cos,ababab，用于求向量的夹角；③2aaa，用于求距离；④0abab，用于证明两个向量垂直.3．重要定理：（1）共线向量定理：a∥b存在实数使__________；（2）共面向量定理：向量p与两不共线向量a、b共面存在实数对x、y，使________；推论：若O、A、B不共线，OPxOAyOB.则P、A、B共线_______________.（3）空间向量基本定理：若a、b、c不共面，则存在唯一的x,y,z,使p=_________.推论：若O、A、B、C不共面，OPxOAyOBzOC.则P、A、B、C共面_____________.4．空间向量的坐标运算：123123(,,)(,,)aaaabbbb若，，则（1）_________________ab；a_____________；_____________ab；（2）//________________ab______________________ab（3）模长公式：||__________________a；（4）夹角公式:cos___________ab；（5）若111222333(,,)(,,)(,,)AxyzBxyzxyz，，C,则__________________AB||AB______________________________；中点P的坐标是________________；三角形ABC的重心G的坐标是___________________.5.求平面法向量的方法：设(,,)nxyz是平面的一个法向量，AB、CD是平面内的两条相交直线，则0,0nABnCD,由此求出一个法向量.GMBDCA【经典例题】例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）AP；（2）NA1；（3）MP+1NC.练习：已知空间四边形ABCD，连结,ACBD，设,MG分别是,BCCD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD（2）1()2ABBDBC（3）1()2AGABAC例2、已知点(,,)Pxyz（1）点(,,)Pxyz关于xoy平面的对称点为_____________________（2）点(,,)Pxyz关于yoz平面的对称点为_____________________（3）点(,,)Pxyz关于xoz平面的对称点为_____________________（4）点(,,)Pxyz关于x轴的对称点为_____________________（5）点(,,)Pxyz关于y轴的对称点为_____________________（6）点(,,)Pxyz关于z轴的对称点为_____________________（7）点(,,)Pxyz关于原点的对称点为____________________例3、设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系OCzOByOAxOP（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？例4、（1）若A(0，2，819)，B(1，-1，85)，C(-2，1，85)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则::xyz=_____________.（2）已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是_____________（写出一个即可）例5、如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值.OABC【课后作业】1、在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为czbyaxp．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．32、已知,,ABC三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与,,ABC一定共面的是（）()AOMOAOBOC()2BOMOAOBOC11()23COMOAOBOC111()333DOMOAOBOC3、已知向量),2,4(),3,1,2(xba，使ab成立的x与使//ab成立的x分别为（）A．10,63B．-10,636C．-6,10,63D．6,-10,634、已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A．627B．637C．647D．6575、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56、若A)1,2,1(，B)3,2,4(，C)4,1,6(，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7、在空间直角坐标系Oxyz中,点P(2,3,4)在平面xOy内的射影的坐标为____;点P(2,3,4)关于平面xOy的对称点的坐标为_________;8、已知点G是ABC的重心，O是空间中任一点，若OAOBOCOG，则的值为__________.9、已知向量(1,1,0),(1,0,2)ab，a在b方向上的射影是____________.10、已知力1F=(1,2,3)，2F＝(-2,3,-1)，3F(3,-4,5)，若1F，2F，3F共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，则合力作的功为．立体几何空间向量的应用【知识梳理】1、四点共面的证明：M、A、B、P四点共面的充要条件是(1).OPxOAyOBzOCxyz2、直线12,ll的方向向量是,ab，平面,的法向量是1,n2,n平面内不共线向量,cd，①1l//2l________；1l//_______________________；//_________.②1l2l________；1l_______________________；_________.3、空间的角的计算：①线线角：求方向向量的夹角或其补角，即cos=cos,ab.②线面角：sin=11||||||anan.③二面角：求法向量的夹角或其补角，即cos=12cos,nn.4、空间的距离的计算：（平面的法向量为n）①两点间的距离的计算：基向量法或两点间的距离（坐标）公式：________________.②点到平面的距离的计算：直线AB与平面交于点A，则点B到平面的距离h=||||nABn.③异面直线的距离的计算：若a、b是两异面直线，n是a和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是.||||nEFdn.④直线到平面的距离和平面与平面间的距离的求法：转化成点面距离.【典型例题】例1、如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.例2、在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离.例3、如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.求证：（1）AM∥平面BDE；（2）AM⊥平面BDF.【能力提升】例4、如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．例5、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由．BACA1B1C1例6、如图1－6，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．例7、如图，在三棱柱111ABCABC中，ABAC，顶点1A在底面ABC上的射影恰为点B，且12ABACAB．（1）求证：11AC平面11ABAB（2）求棱1AA与BC所成的角的大小；（3）在线段11BC上确定一点P，使14AP，并求出二面角1PABA的平面角的余弦值．