竞赛专题--几何变换

竞赛专题――几何变换【竞赛知识点拨】一、平移变换1．定义设PQ是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到'X，使得PQXX'，则T叫做沿有向线段PQ的平移变换。记为')(XXPQT，图形')(FFPQT。2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、轴对称变换1．定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到'X，使得X与'X关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为')(XXlS，图形')(FFlS。2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、旋转变换1．定义设是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到'X，使得OXOX'，且'XOX，则R叫做绕中心O，旋转角为的旋转变换。记为'),(XXOR，图形'),(FFOR。其中0时，表示'XOX的始边OX到终边XO的旋转方向为顺时针方向；0时，为逆时针方向。2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、位似变换1．定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到'X，使得OXkOX'，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为'),(XXkOH，图形'),(FFkOH。其中0k时，'X在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；0k时,'X在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2．主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且PCBPAB。求证：PDAPBA【例2】“风平三角形”中，60'',2'''BOCAOBCCBBAA4376';85,21;74,82'',';63,51,)(＝，即＝四点共圆。故、、、得由已知知都是平行四边形，、由则【分析】作变换CPDPCBPPADPPBCADPPDCPABPDCPABPADT求证：【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。形时，周长最小；故当四边形为平行四边同理可得的中点；、分别为、，的中点且是；交于、平行四边形；延长是一个符合条件的，则，令、的中点、【分析】取DCBADCABBCDABCBCBGBCADCGAGCFECFCCCEFACEGCCAFDBCACAACFEBDACEFT''''2',//''//''''')(【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。3'''COABOCAOBSSS三角形为等边共线，、、共线，、、共线，、、记为重合，和，则【分析】作变换OPQPBOQAOQRPRRRRRPRBBOCAQROCABBTAAT';'''''''''','')'()'(3'''COABOCAOBSSS。；求证于交，连接于交，连接、的两弦点引圆的中点，过的弦圆】【例NPMPNABCFMABDEEFCDoPABoP:4PMPNMPFPFNPENPDEMPFFDMPEDFEFFEDFFPNMDFPMFABFFGHABGHFFPFPFPMFFPNPBPAPFPFPFPFGHPoFFFPGHGHSGHSGHS'''180'''''//','''''',')()()(四点共圆、、、；，又，，，，；又圆显然的直径，为过【分析】设)(,2|11|,22曲线系知识解析法证明：利用二次则中点的距离为到，，已知、于交、，连接、作两条相交弦，过上的一点内一弦的圆已知半径【评注】一般结论为：rRaPNPMaABPrOPNMABEDCFEFCDPPABoR的周长最小；，使得、、上各求一点、及射线内一个定圆，试在圆是给定锐角】圆【例PQRRQPCBCAoACBo5顶点。为所求的三角形的三个、、则、于、分别交，连接，令，交圆周于连接做法：的周长为最小，于是有为最小，从而取最小值时，当＝理，是该圆直径，由正弦定四点共圆，、、、，则于交，于交设角形；的情况下周长最小的三是在取定，显然、于、分别交，连接，令上任取一点【分析】在圆RQPRQCBCAPPPPPPPOCRQPEFCPECFCPEFCPPFCEEFPPPRRQQPFCBPPECAPPPRQPRQCBCAPPPPPPPoCBSCASCBSCAS212)(1)(1100000210111102010011011212)(01)(00,;sin2,ADRPQRPQPQRDBCADAABC2906求证：，是它的任一内接三角形，于，中，】【例ADRPQRPQADAPAPAPRPQRQPRQPPPPAAAPPAPPARPQRQPRPQRPQAPAPAPQPPQRPRPPPPPACSABS222'''''''''''',1802''',90'''''','',','',')()(的内部；上或在凸四边形点在线段又则【分析】设【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。;7MQMPMQMPBCMAQCAPBACABABC，的中点，求证：是，、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边】以【例；且而显然：都是等腰三角形，、则，＝，使到，延长，使到【分析】延长MQMPMQMPBFMQECPMBFECBFECFCBECAFBAECQQFFCQBPPEEBPARAR,21//,21//;,,,)90,()90,(OCOBOAPCPBPACOOOAOACCPPPAPCOOAOBOBOCCBOBPCCBPBOCCBOPBPPOBOOBPPBOOPPOOPPOOCCBRBRBR即：四点共线，、、、；由于，显然，＝，都是正三角形’、则；、连接【分析】将''''''''''180120'''''''''',',',')60,()60,()60,()(;,1208为费马点求证：内任意一点，是内一点，是】已知【例OOCOBOAPCPBPAABCPCOABOCAOBABCO三线也相交于一点；、、求证：，三线交于一点、、，设、、、、、垂线六个点分别作所在边的，过上述、、、、、分别交于点、、的三边与】圆【例2121212121212121219cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCABCO三线也相交于一点、、即：的公共点、、也是像下的像在变换的公共点、、，同理：成中心对称，关于圆心、【分析】2122121212)180,(12)180,(12)180,(121')180,0(cbacbaDRDcbaccbbaaOaaORORORONOMNOBOBNOBCGACGOACBGBOACBDBODBOGBOFDBOBGOODGBGOOPGBNMNOPGODGOGDPODPOGPDBDGGOOGGBCONNOOMBONOBNOMBMNNOOAMABAHAMABAHAMABAH'''''//',','''','''//,90'''''',,',')()()(的中点，是的中点，是而；而四点共圆、、、有，而由四点共圆、、、、、、，连接中点取三点共线，且、、三点共线，、、而【分析】设、、、ONOMNMACABPOPBCODOABCAD，求证：、于、分别交，连接并延长于的切线交作圆的直径，过的外接圆是】【例10