0.5最小势能原理与Ritz法

240.5最小势能原理与Ritz法依据弹性理论分析构件的应力时，一般总是从构件的连续性出发，依据微元体的物理模型，建立以微分方程式表述的数学模型，然后求解微分方程式获得问题的解。弹性力学的基本方程是以偏微分方程组表示的，弹性力学问题的本质则是求解偏微分方程的边值问题。从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，大大增加了偏微分方程边值问题的复杂性，所以只有少数的典型问题可以用弹性力学的基本方程直接进行解析求解，对大多数工程实际问题，往往只能采取各种近似方法或者渐近方法通过数值计算来求得其近似解。对于一个具体问题，主要采用直接刚度法、变分原理和加权余量法建立有限元方程，总体来说都是将偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的方法。在弹性力学中，主要有四个变分原理：虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理。最小势能原理如下陈述：在一个保守系统的所有可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。对于满足广义Hooke定律的线弹性材料，其势能可表达为：UWΠ=−{}[]{}{}{}{}{}∫∫∫−−=STVTVTdSpudVFudVDεε21。最小势能的数学描述即总势能的一阶变分为零，且二阶变分是正定的（大于零），002Π=Πδδ,。即{}[]{}{}{}{}{}102TTTVVSDdVuFdVupdSδδεεΠ=−−=∫∫∫必须强调指出的是，真实位移与其他的几何可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，即平衡方程和面力边界条件。通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件，也意味着最小势能原理等价于平衡微分方程和面力边界条件。根据最小势能原理所述，如果列出所有的几何可能位移，那么使总势能Π取最小值的那一组位移就是真实位移。问题是列出所有几何可能的位移是非常困难的，甚至是不可能的。因此，对于实际问题的计算，只能凭借经验和直觉缩小寻找范围，在这个范围内的一族几何可能的位移中，找到一组位移使得总势能Π最小。虽然这一组位移一般的说并不是真实的，但是可以肯定，它是在这个缩小的给定范围内部，与真实位移最为接近的一组位移，由此解答可以作为近似解。最小势能原理是弹性力学问题近似解法的基础，本节介绍基于最小势能原理的近似解法:瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法。从上述思想出发，在一般情况下，可以将位移分量选择为如下的形式010101nmmmnmmmnmmmuuAuvvBvwwCw====+=+=+∑∑∑25其中，,,mmmABC均为任意的常数；000,,uvw以及,,mmmuvw都是坐标的已知函数，并且在位移边界uS上，有这样构造的位移试函数，不论系数,,mmmABC取何值，总是满足位移边界条件的。而且对于连续函数，必然满足几何方程。因此满足几何可能位移的条件。现在的问题是将要如何选择待定系数,,mmmABC，使得总势能Π在位移表达式表示的这一族位移中取最小值。为此，将位移表达式代入几何方程求得应变分量，然后代入总势能Π的表达式，注意到应变能密度函数是应变分量的齐二次函数，因此总势能Π表达式的第一个积分成为待定系数,,mmmABC的齐二次函数，而第二和第三个积分为,,mmmABC的一次函数。于是，总势能Π原本是自变函数的泛函，现在成为待定系数,,mmmABC的二次函数。这样就把求解泛函的极值问题，转化成为求解函数的极值问题。总势能Π取极值的条件为0mA∂Π=∂，0mB∂Π=∂，0mC∂Π=∂总势能Π取极值的条件又可以写作00xmxmmVVSUdVFudVpudSAσ∂−−=∂∫∫∫∫∫∫∫∫00ymymmVVSUdVFvdVpvdSBσ∂−−=∂∫∫∫∫∫∫∫∫00zmzmmVVSUdVFwdVpwdSCσ∂−−=∂∫∫∫∫∫∫∫∫上述公式是一组以,,mmmABC（m=1，2，3…）为未知数的线性非齐次代数方程组，求解方程可得待定系数，回代就可以得到近似位移解答，这一方法称为瑞利—里茨（Rayleigh-Ritz）法。例：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度()wx。26解：首先使用瑞利—里茨法求解。为了满足梁的位移边界条件，即简支梁两端的约束条件:在x=0和l处，w=0，取位移试函数，即挠曲线方程为∑=mmlxmsinCwπ问题的总势能为222002llEIdwdxqwdxdxΠ=−∫∫即44231,3,524mmmmCEIqlmClmππ=Π=−∑∑根据0mC∂Π=∂,所以所以：4554mqlCEImπ=（m为奇数）0mC=（m为偶数）回代到位移公式，可得4551,3,5,41sinmqlmxwEImlππ==∑。挠曲线表达式是无穷级数，它给出了本问题的精确解答。这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。Rayleigh-Ritz法为弹性力学问题的提供了很重要的近似解法：以满足位移边界条件为前提，假设包含待定系数的一类几何可能的位移函数，利用变分原理确定这些系数，从而使整个问题得到解决。但由于传统的Ritz法是在整个求解域中采用整体位移试函数或者应力试函数，因此导致对于实际工程问题求解仍然困难重重。有限元方法是以变分原理为基础的，为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛呢？根本原因在于有限元方法选取的试函数不是整体的，而是在弹性体内分区（单元）完成的，因此试函数形式简单统一。当然，这使得转换的代数方程阶数比较高。但是，面对强大的计算机处理能力，线性方程组的求解不再有任何困难。因此，有限元原理成为目前工程结构分析的重要工具。本节将从位移变分方程引出有限元方法的基本概念。对于最小势能原理，物体的总势能为{}{}{}{}0TTVVSUdVuFdVupdSσΠ=−−∫∫∫∫∫∫∫∫{}[]{}{}{}12TTVDuFdVεε=−∫∫∫{}{}TSupdSσ−∫∫如果将物体分解为若干个有限尺寸的单元，则物体总势能为所有单元体总势能的和。有1mee=Π=Π∑()1,2,3,,em=27其中e为单元序号，m为单元总数。而任意一个单元体的总势能为{}[]{}{}{}12eTTeeVDuFdVεεΠ=−∫∫∫{}{}()eTeSupdSσ−∫∫这里(),eeVSσ分别表示第e个单元的体积和面积边界。显然如果选取的位移试函数是连续的，物体的总势能可以用单元总势能的和表示。有限元分析中，物体的位移是由单元位移确定的，因此位移连续需要分单元选取的位移试函数保证单元的边界位移与所有相邻单元位移相同。有限元原理就是采用分单元选取位移函数，而选取的位移函数在弹性体内又是连续的这一基本思想的变分方法。所以有限元方法的理论基础是最小势能原理。当然，这一思想同样可以应用于最小余能原理，乃至广义变分原理等。可以看出，引入试函数，将微分形式的求解转化成了积分形式的求解，求解难度大大降低。若选取规范的试函数，则可以编写通用软件，以利于各种复杂问题的求解。但必须处理的技术难点在于：·正确描述复杂求解域·试函数(许可位移场)的确定与选取(规范化形式)·全场有限元方程的表达因此，在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的求解域等效离散为一系列的标准形状的几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组，这就是有限元方法的基本思路。在计算机技术高度发展的今天，有限元方法在工程中得到最广泛的应用，也发展了上千种具有完善功能的有限元分析商品化软件。280.6直接刚度法实际上，可以认为有限单元法的概念是源于结构理论。对于一个杆系结构，通常是由许多结构单元(杆件)所组成。结构中的这些单元仅在有限个节点上彼此相连。对每个单元而言，诸如力与位移之间的关系这样的结构特性都是用节点上所确认的自由度来惟一地予以规定；而整体杆系结构的特性则可通过组集这些单元特性来加以描述。图0.6.1所示的是一个由二根杆件组成的铰接桁架，杆件的截面积为A，弹性模量为E，长度分别为1l和2l。该桁架在各铰接点处受有外力321321Y,Y,Y,X,X,X。因杆件在节点处是铰接，不承受弯矩，只能承受轴向力，所以，每个节点的力和位移各有两个分量，即每个节点均具有两个自由度，而每个单元则有四个自由度。为此，必须用四个方程来描述每个单元的力与位移之间的关系。对于单元①，有111111111121132142Ukukvkukv′′′′=+++111111211221232242Vkukvkukv′′′′=+++111112311321332342Ukukvkukv′′′′=+++（0.6.1）111111411421432442Vkukvkukv′′′′=+++式中,12121111V,U,V,U分别为节点1和节点2施于单元①的节点力沿坐标方向的分量；12121111v,u,v,u分别为节点1和节点2的位移沿相应坐标方向的分量。此处，上标是单元编号，下标为节点编号。图0.6.1铰接桁架可将式(0.6.1)写成矩阵形式111112131411112122232411112231323334112241424344kkkkUukkkkVvUukkkkVvkkkk′′′′′′′′=′′′′′′′′(0.6.2)29或简记为:{}[]{}111δkR=(0.6.3)式中,{}1δ{}Tv,u,v,u12121111=被称为单元①的节点位移向量；{}=1R{}TVUVU12121111称为单元①的节点力向量；[]1k为单元①的刚度矩阵，其中111244,,,kkk′′′为刚度系数。刚度系数的物理意义如下：若令只在节点1处有沿x方向的单位位移，其他位移不存在，则有111=u及0121211===vuv则得1111Uk′=，1121Vk′=，1231Uk′=，1241Vk′=这表明，当节点l沿x方向产生一单位位移(111=u)，而其余节点、其余自由度方向上的位移为零时，刚度系数就等于施加于该单元①各自由度方向上的力。这些力组成一个平衡力系，它们表示单元①抵抗位移11u的刚度。这些力的值很容易根据材料力学知识求得：当位移111=u，其余节点位移都等于零时（见下图），单元的长度将缩短1coslθ∆=−。图0.6.2杆单元在此状态下，根据材料力学知识，在节点1处需要向单元①施加的轴向压力为111cosEAEAlllθ∆=，这就是节点1作用于单元①上的力，它在x和y方向的分量是=11U2111cosEAklθ′=30=11V211cossinEAklθθ′=对于节点2作用于单元①的两个自由度方向上的力，则与之大小相等、方向相反。即=12U2311cosEAklθ′=−=12V411cossinEAklθθ′=−令111=v及0121211===vuu则得1112Uk′=，1122Vk′=，1232Uk′=，1242Vk′=再继续作类似的分析（见附页），便可得到其余的刚度系数．有121sincoskEAlθθ′=2221sinkEAlθ′=由于作用力和反作用力的关系321sincoskEAlθθ′=−2421sinkEAlθ′=−对节点2做类似的分析，可得到其它8个刚度系数，整理得：[]2222122122coscossincoscossincossinsincossinsincoscossincoscossincossinsincossinsinEAklθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ−−−−=−−−−(0.6.4)同理，可以求出作用于单元②的节点力和位移之间的关系----刚度矩阵=23232222VUVU[]2k22222323uvuv31[]220000010100000101EAkl−=