2数值分析之Hermite插值

注：1.PPT比例为16比9，制作成视频后两边不会有黑边或变形。2.右侧三分之一留空为老师讲课时所在位置，内容不能超过虚线。3.大部分内容字体使用微软雅黑、黑色、1.2倍行距，视频播放时识别度较高。数值分析部分Hermite插值多项式𝒙𝟎𝒙𝟏𝑯(𝒙)Hermite插值的定义定义111''11(),(),()(),()iiiiiiiiiifxxxyfxyfxmfxmfx在处的函数值与导数值分别为构造插值函数𝑯(𝒙)满足如下条件：11''111()3(),()(),()iiiiiiiiHxHxyHxyHxmHxm（）是不超过次的代数多项式.(2)称插值函数𝑯(𝒙)为𝒇𝒙的三次厄米特插值多项式Hermite插值的几何意义𝑯𝒙与𝒇(𝒙)在节点处不仅函数值相等，而且导数值也相等.不仅都过点𝒙𝒊,𝒚𝒊,(𝒙𝒊+𝟏,𝒚𝒊+𝟏)而且两点处还有相同的切线.Hermite插值的构造23230123{1,,,}{()/()}Vspanxxxpxpxaaxaxax四个待定系数,四个插值条件,可以确定𝐇𝒙.此方法不适合程序编写.230101{1,,,}{(),(),(),()}VspanxxxspanhxhxHxHx线性空间Hermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00010101{(),(),(),()}hxhxHxHx四个插值基函数取值如下表：011011()()()()()iiiiHxyhxyhxmHxmHx.满足插值条件Hermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00010101{(),(),(),()}hxhxHxHx目标：寻找满足函数表的四个插值基函数Hermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00012()()()();()()()().iiiifxxfxxxkxfxxfxxxkx高斯定理：在处函数值为零，则在处函数值与导数值均为零，则Hermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻1(𝑥)0001201()()()ihxabxxx'00()1,()0iihxhx21011()(12)()iiiiiixxxxhxxxxxHermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻0(𝑥)000121()()()ihxabxxx'1111()1,()0iihxhx21111()(12)()iiiiiixxxxhxxxxxHermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻0(𝑥)0001201()()()iiHxkxxxx'0()1iHx2101()()()iiiixxHxxxxxHermite基函数表基函数函数值导数值𝑥𝑖𝑥𝑖+1𝑥𝑖𝑥𝑖+1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100𝐻0(𝑥)0010𝐻0(𝑥)0001211()()()iiHxkxxxx'11()1iHx2111()()()iiiixxHxxxxxHermite插值的余项估计定理：设𝑯𝟑(𝒙)是𝒇(𝒙)的过点𝒙𝒊,𝒙𝒊+𝟏的三次Hermite插值多项式,𝒇(𝒙)∈𝑪𝟑[𝒂,𝒃]，𝒇(𝟒)(𝒙)在(𝒂,𝒃)内存在，[𝒂,𝒃]是包含[𝒙𝒊,𝒙𝒊+𝟏]的任一区间，则∀𝒙∈𝒂,𝒃,∃𝝃∈(𝒂,𝒃),使得𝑹𝟑𝒙=𝒇𝒙−𝑯𝟑𝒙=𝒇𝟒(𝝃)𝟒!(𝒙−𝒙𝒊)𝟐(𝒙−𝒙𝒊+𝟏)𝟐Hermite插值的余项估计证明：由于𝑹𝟑𝒙=𝒇𝒙−𝑯𝟑𝒙𝑅3𝑥在𝑥𝑖,𝑥𝑖+1处函数值与导数值均为零，故：𝑅3𝑥=𝑘(𝑥)(𝑥−𝑥𝑖)2(𝑥−𝑥𝑖+1)2∀𝒙∈𝒂,𝒃，构造辅助函数：𝜑𝑡=𝑓𝑡−𝐻3𝑡−𝑘(𝑥)(𝑡−𝑥𝑖)2(𝑡−𝑥𝑖+1)2显然，𝑥=𝑥𝑖𝑜𝑟𝑥=𝑥𝑖+1时，定理结论成立。𝑥≠𝑥𝑖&𝑥≠𝑥𝑖+1时𝜑𝑡=𝑓𝑡−𝐻3𝑡−𝑘(𝑥)(𝑡−𝑥𝑖)2(𝑡−𝑥𝑖+1)2有三个互异零点𝑥,𝑥𝑖,𝑥𝑖+1Hermite插值的余项估计则𝜑‘𝑡有四个互异零点ε∈𝑥𝑖,𝑥,𝛿∈(𝑥,𝑥𝑖+1),𝑥𝑖,𝑥𝑖+1则𝜑‘‘𝑡有三个互异零点则𝜑‘‘‘𝑡有两个互异零点则𝜑（4）𝑡有一个零点𝜉则𝜑（4）𝜉=𝑓4𝜉−4!𝑘𝑥=0𝑘𝑥=𝑓4𝜉4!(1)2(2)3(1)1(2)1ffffHermite例设，，，，求满足条件的插值多项式.例题0122122221221,2,211(12(1))(2)(21)(2)(12(2))(1)(23)(1)(1)(2)(2)(1)xxhAxxxxAxxxxBxxBxx解：则2232232()2(21)(2)3(23)(1)1(1)(2)(1)(2)(1)3895Hxxxxxxxxxxxx得例题非标准的Hermite插值例：求多项式𝒑𝒙,满足条件：𝒑𝒙𝒊=𝒇𝒙𝒊=𝒚𝒊(𝒊=𝟎,𝟏,𝟐)𝒑′𝒙𝟏=𝒇′𝒙𝟏=𝒎,并给出余项估计.方法一：令𝒑𝒙=𝒂𝟎+𝒂𝟏𝒙+𝒂𝟐𝒙𝟐+𝒂𝟑𝒙𝟑四个待定系数，四个插值条件，刚好唯一确定.230101{1,,,}{(),(),(),()}VspanxxxspanhxhxHxHx分析非标准的Hermite插值方法二：构造基函数.基函数函数值导数值𝑥0𝑥1𝑥2𝑥1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100ℎ2(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00010011221()()()()()pxyhxyhxyhxmHx非标准的Hermite插值方法二：构造基函数.基函数函数值导数值𝑥0𝑥1𝑥2𝑥1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100ℎ2(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00012012()()()hxkxxxx212020102()()()()()xxxxhxxxxx非标准的Hermite插值方法二：构造基函数.基函数函数值导数值𝑥0𝑥1𝑥2𝑥1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100ℎ2(𝑥)0010𝐻1(𝑥)0001102()()()()hxabxxxxx1102110121012101211()()()[1()]()()xxxxxxhxxxxxxxxxxxxxx非标准的Hermite插值方法二：构造基函数.基函数函数值导数值𝑥0𝑥1𝑥2𝑥1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100ℎ2(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00012210()()()hxkxxxx210222120()()()()()xxxxhxxxxx非标准的Hermite插值方法二：构造基函数.基函数函数值导数值𝑥0𝑥1𝑥2𝑥1ℎ0(𝑥)1000ℎ1(𝑥)0100ℎ2(𝑥)0010𝐻1(𝑥)00011012()()()()Hxkxxxxxx101210121()()()()()()Hxxxxxxxxxxx非标准Hermite插值的余项估计证明：由于𝑹𝟑𝒙=𝒇𝒙−𝒑𝒙𝑅3𝑥在𝑥0,𝑥1,𝑥2处函数值为零，且𝑥1处导数为零,故：𝑅3𝑥=𝑘(𝑥)(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)2(𝑥−𝑥2)∀𝒙∈𝒂,𝒃，构造辅助函数：𝜑𝑡=𝑓𝑡−𝑝𝑡−𝑘(𝑥)(𝑡−𝑥0)(𝑡−𝑥1)2(𝑡−𝑥2)显然，𝑥=𝑥𝑖(𝑖=0,1,2)时，定理结论成立。𝑥≠𝑥𝑖(𝑖=0,1,2)时𝜑𝑡=𝑓𝑡−𝐻3𝑡−𝑘(𝑥)(𝑡−𝑥0)(𝑡−𝑥1)2(𝑡−𝑥2)有四个互异零点𝑥,𝑥0,𝑥1,𝑥2非标准Hermite插值的余项估计则𝜑‘𝑡有四个互异零点a∈𝑥0,𝑥,𝑏∈𝑥,𝑥1,𝑐∈(𝑥,𝑥1),𝑥1则𝜑‘‘𝑡有三个互异零点则𝜑‘‘‘𝑡有两个互异零点则𝜑（4）𝑡有一个零点𝜉非标准Hermite插值的余项估计则𝜑（4）𝜉=𝑓4𝜉−4!𝑘𝑥=0𝑘𝑥=𝑓4𝜉4!故：𝑅3𝑥=𝑓4𝜉4!(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)2(𝑥−𝑥2)𝜉∈(𝑥0,𝑥2)