竞赛第二讲运动学

第二讲运动学1．《金牌之路竞赛解题指导》P25，练习3，答案P2262．高为H的灯杆顶部有一小灯，灯柱下有一个身高为h的人由灯杆所在位置出发，沿直线方向在水平地面上离灯柱而去。设某时刻此人的行走速度为v0，试求此时此人头顶在地面投影的前进速度。解：设在⊿t时间内，人的位置由BC→B′C′，头顶在地面投影的位置由D→D′，由图中⊿ABB′~⊿ADD′，对应边成比例得HhHADABDDBB∴BBhHHDD两边to同除以⊿t得tBBhHHtDD即0vhHHv影3．《金牌之路竞赛解题指导》P19，例题14．《金牌之路竞赛解题指导》P21，例题25．《金牌之路竞赛解题指导》P24，练习1，答案P2246．从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为α，20。若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板作完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板的倾角θ为恰当值时（20），甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面作完全弹性碰撞。试讨论v0、a、θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。解：甲球从A点抛出时的抛射角为α，速度为v0，因为碰撞点与A点等高，球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，根据机械能守恒定律可知，球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度都等于v0。设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为α′，如图所示。A点与碰撞点之间的距离即为射程L，若甲球又回到A点，则有gvgvL2sin2sin2020①即sin2a´=sin2a由此得a´=a②2③a´=a，表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反弹出时速度的方向相反，故甲球必沿板的法线方向射向平板，反弹后，甲球沿原来的路径返回A点，因此有2即2④2，表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到A点。由图中的几何关系可知22⑤由③⑤两式，得4⑥下面分别讨论以上的两种情况下，甲球乙球同时回到A点应满足的条件。（1）a´=a，2，即A球沿原路径回到A点的情形。被甲球从A点抛出、与OG板碰撞，到沿原路径回到A点共经历的时间为t1，则有gvgvgvtsin4sin2sin20001⑦设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞、再回到A点共经历的时间为t2，则有ght222⑧两球在A点相遇，要求t1=t2，则ghgv22sin40即21sin0ghv⑨或21arcsin0ghv⑩因sina1，由⑨式得20ghv⑪当v0满足⑪式，甲球的抛射角a满足⑩式，平板的倾角θ满足④式，甲球才能沿原路返回A点并与乙球相遇。（2）2，4，即甲球与OG板碰撞后，沿另一条路径回到A点的情形。设甲球自A点抛出，经与平板碰撞又回到A点经历的总时间为t1′，则有gvgvgvt)cos(sin2sin2sin2000'1⑫设乙球自A点下落后回到A点经历的总时间为t2′，则有ght22'2⑬两球在A点相遇，要求t1′=t2′，ghgv22)cos(sin20或ghv01)4sin(⑭4)21arcsin(0ghv⑮因20，故有224sin)4sin(1x⑯结合⑭式，得ghvgh02⑰当v0满足⑰式，甲球的抛射角a满足⑮式，平板的倾角θ满足⑥式，甲球将沿另一条路径回到A点，同时与乙球相遇。综合以上讨论，结论为：当20ghv，且当21arcsin0ghv，2，甲球沿原路径返回A点的同时，乙球也回到A点；当ghvgh02，且当4)21arcsin(0ghv，4，甲球还可沿另一路径回到A点，这时，乙球也正好回到A点。7．如图所示，在高为h的山顶上向平地放炮，若炮弹出口速度大小为v0，问：v0与水平方向的夹角α为多大时，炮弹落点最远？（提示：此题用矢量三角形解比较方便）解：设炮弹落地时速度为v，则tgvv0，其矢量如图，又由mghmvmv2022121可知，v0一定时，v也一定。水平射程为tvxcos0要使x最大，只要)cos)((2120vgtxg取得最大，等式右边就是图示三角形面积。而此三角形中，两边0v、v的长度一定，面积最大时，必有vv0，此时有ghvvvv2tan2000故ghvv2arctan200时，水平射程最大。8．《金牌之路竞赛解题指导》P25，练习4，答案P2269．质点绕半径为R=1m的圆轨道运动，其速率v和时间t满足v=πt的关系。求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向。解：质点绕圆周一周所走过的路程为L=2πR①由v=πt可知其切向加速度大小为aτ=π(m/s2)∴21Laτ·t2②联立①、②可得t=2(s)此时v=aτt=2π(m/s2)向心加速度)/(4222smRvan)/(1611624222smaaan总设与速度方向夹角为φ，tanφ=4πφ=85.5°10．《金牌之路竞赛解题指导》P23，例题411．《金牌之路竞赛解题指导》P22，例题312．当自行车向正东方向以5km/h的速度行驶时，人感觉风从正北方向吹来；当自行车的速度增加两倍时，人感觉风从正东北吹来。求风对地的速度和风向。解：作出速度矢量如图所示。图中人v、人v表示人骑自行车对地的速度，风v表示风对地的实际速度，1v、2v表示风相对人的速度，由图可知hkmvv/1021人hkmhkmvvv/18.11/55212人风方向：tanφ=2φ=63.4°即东偏南63.4°13．模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边长为2km的等边三角形飞行，设风速u=21km/h，方向与三角形的一边平行并和飞机起飞方向相同。求飞机绕三角形一周需要多少时间？解法1：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；第二段和第三段合v大小相同。参见右图，显然：v2=2v合+u2－2v合ucos120°可解出v合=24km/h。答案：0.2hour（或12min.）。解法2：设飞机从图中A点起飞，绕行方向为ABCA，设风速沿AB方向，则飞机从A到B时间)(301)(6021hhuvABt飞机从B到C。作出速度矢量图如图。2022239120cos21221vvBC01080212BCBCvv解得vBC=24(km/h))(121)(2422hhvBCtBC同理可得飞机从C到A的时间)(1213ht∴(min)12)(51121121301321htttt总14．公园的转椅以恒定的角速度ω绕其竖直对称轴在水平面内做匀速转动，如图所示。转椅上的人以相对转椅v的速度平抛一小球，为使小球能击中转椅架底部中心点O，试求v的大小和方向。已知小球抛出点比O点高h，与竖直转轴的距离为R。解：先计算小球抛出对地的初速度v0。水平方向：R=v0t竖直方向：221gth解得2222002hgRRvv与R的夹角为φ，则ghvR2tan0)2arctan(gh15．《金牌之路竞赛解题指导》P24，例题5