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1高中数学竞赛专题一函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用2函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律。在解题中，充分、合理地运用函数与方程的思想方法，会产生意想不到的效果方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量．这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、经典例题剖析1.(湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；3②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是().A.0B.１C.２D.４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1.根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根.(1)当k＝－2时，方程(*)有一个正根t＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k＝14时，方程(*)有两个相等正根t＝12，相应的原方程的解有4个；(3)当k＝0时，此时方程(*)有两个不等根t＝0或t＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x2－1|＝t的解有8个，故选A.2.由函数f(x)＝(x2－1)2－|x2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k可得出答案为A.3.设t＝|x2－1|(t≥0)，t2－t＋k＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k，由k的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4.设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A.4答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2.(广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是().Ａ.5Ｂ.4Ｃ.3Ｄ.2解析：设等差数列的首项为a1，公差为d据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a1，d，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3.(安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13，又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.5答案：点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4.(江西卷)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，12］成立，则a的最小值是().Ａ.０Ｂ.－２Ｃ.－52Ｄ.－３解析：与x2＋ax＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１.分离变量，有a≥－(x＋1x)，x∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2.看成关于a的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a的范围.3.设f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4.f(x)＝x2＋1，g(x)＝－ax，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5.利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.65.(全国卷Ⅱ)已知抛物线x2＝4y的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值；(2)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由，得(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)，即将①式两边平方并把代入得③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即.解出两条切线的交点M的坐标为，所以＝.所以为定值，其值为0.(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|.|FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|7＝y1＋y2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S＝12|AB||FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6.设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是().Ａ.(－3，0)∪(3，＋∞)Ｂ.(－3，0)∪(0，3)Ｃ.(－∞，－３)∪(3，＋∞)Ｄ.(－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数8F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7.函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i＝１，２……)上，y＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分.(1)求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i＝１，２，……)的表达式；(２)设直线x＝，x＝，x轴及y＝f(x)的图象围成的梯形的面积为ai(i＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝limn→∞(a1＋a2＋…an)，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值.解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14.归纳得f()＝(i＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛an｝是首项为12(１－k4)，公比为14的等比数列，所以9.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k＝1时取得最小值12.点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知