深入理解拉格朗日乘子法

深入理解拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。一.拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类：(i)无约束优化问题，可以写为:minf(x);(ii)有等式约束的优化问题，可以写为:minf(x),s.t.h_i(x)=0;i=1,...,n(iii)有不等式约束的优化问题，可以写为：minf(x),s.t.g_i(x)=0;i=1,...,nh_j(x)=0;j=1,...,m对于第(i)类的优化问题，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；如果是凸函数，可以保证是最优解。对于第(ii)类的优化问题，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)，即把等式约束h_i(x)用一个系数与f(x)写为一个式子，称为拉格朗日函数，而系数称为拉格朗日乘子。通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。对于第(iii)类的优化问题，常常使用的方法就是KKT条件。同样地，我们把所有的等式、不等式约束与f(x)写为一个式子，也叫拉格朗日函数，系数也称拉格朗日乘子，通过一些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件。(a)拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)对于等式约束，我们可以通过一个拉格朗日系数a把等式约束和目标函数组合成为一个式子L(a,x)=f(x)+a*h(x),这里把a和h(x)视为向量形式，a是横向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.....。然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联立等式进行求取，这个在高等数学里面有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后面，将简要介绍其思想。(b)KKT条件对于含有不等式约束的优化问题，如何求取最优值呢？常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a,b,x)=f(x)+a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件：1.L(a,b,x)对x求导为零；2.h(x)=0;3.a*g(x)=0;求取这三个等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣，因为g(x)=0，如果要满足这个等式，必须a=0或者g(x)=0.这是SVM的很多重要性质的来源，如支持向量的概念。二.为什么拉格朗日乘子法（LagrangeMultiplier)和KKT条件能够得到最优值？为什么要这么求能得到最优值？先说拉格朗日乘子法，设想我们的目标函数z=f(x),x是向量,z取不同的值，相当于可以投影在x构成的平面（曲面）上，即成为等高线，如下图，目标函数是f(x,y)，这里x是标量，虚线是等高线，现在假设我们的约束g(x)=0，x是向量，在x构成的平面或者曲面上是一条曲线，假设g(x)与等高线相交，交点就是同时满足等式约束条件和目标函数的可行域的值，但肯定不是最优值，因为相交意味着肯定还存在其它的等高线在该条等高线的内部或者外部，使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小，只有到等高线与目标函数的曲线相切的时候，可能取得最优值，如下图所示，即等高线和目标函数的曲线在该点的法向量必须有相同方向，所以最优值必须满足：f(x)的梯度=a*g(x)的梯度，a是常数，表示左右两边同向。这个等式就是L(a,x)对参数求导的结果。（上述描述，我不知道描述清楚没，如果与我物理位置很近的话，直接找我，我当面讲好理解一些，注：下图来自wiki）。而KKT条件是满足强对偶条件的优化问题的必要条件，可以这样理解：我们要求minf(x),L(a,b,x)=f(x)+a*g(x)+b*h(x)，a=0，我们可以把f(x)写为：max_{a,b}L(a,b,x)，为什么呢？因为h(x)=0,g(x)=0，现在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是=0，所以L(a,b,x)只有在a*g(x)=0的情况下才能取得最大值，否则，就不满足约束条件，因此max_{a,b}L(a,b,x)在满足约束条件的情况下就是f(x)，因此我们的目标函数可以写为min_xmax_{a,b}L(a,b,x)。如果用对偶表达式：max_{a,b}min_xL(a,b,x)，由于我们的优化是满足强对偶的（强对偶就是说对偶式子的最优值是等于原问题的最优值的），所以在取得最优值x0的条件下，它满足f(x0)=max_{a,b}min_xL(a,b,x)=min_xmax_{a,b}L(a,b,x)=f(x0)，我们来看看中间两个式子发生了什么事情：f(x0)=max_{a,b}min_xL(a,b,x)=max_{a,b}min_xf(x)+a*g(x)+b*h(x)=max_{a,b}f(x0)+a*g(x0)+b*h(x0)=f(x0)可以看到上述加黑的地方本质上是说min_xf(x)+a*g(x)+b*h(x)在x0取得了最小值，用fermat定理，即是说对于函数f(x)+a*g(x)+b*h(x)，求取导数要等于零，即f(x)的梯度+a*g(x)的梯度+b*h(x)的梯度=0这就是kkt条件中第一个条件：L(a,b,x)对x求导为零。而之前说明过，a*g(x)=0，这时kkt条件的第3个条件，当然已知的条件h(x)=0必须被满足，所有上述说明，满足强对偶条件的优化问题的最优值都必须满足KKT条件，即上述说明的三个条件。可以把KKT条件视为是拉格朗日乘子法的泛化。梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数的含义想必单独论及“梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数”等四个基本概念的时候，绝大部分人都能够很容易地谈个一二三，基本没有问题。其实在应用的时候，这几个概念经常被混淆，本文试图把这几个概念之间的关系整理一下，以便应用之时得心应手。这四个概念中，Hessian矩阵是最不容易混淆，但却是很多人难以记住的概念，其它三个概念很容易记住，但却在某些时候很容易混淆。Hessian矩阵：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,...,xn)，Hessian矩阵M定义为：M的第i行,第j列元素为df(X)/dxidxj,即为f(X)对于变量xi和xj的二次偏导数。梯度：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,...,xn)，函数f(X)在点X0处的梯度是一个向量，等于（df(X0)/dx1,df(X0)/dx2,....,df(X0)/dxn),即是对于各个变量的偏导数的向量。例子：如果方程是z=f(x,y)，梯度是在XOY平面内的一个向量，与z无关。因此要特别注意梯度不是点(X，f(X))处的切线方向。平面方程的法线：设平面方程Ax+By+Cz+D=0，向量（A,B,C)为这个平面的法线方向。函数导数：二维直线的方程y=kx+b，我们说k是直线的斜率；二维曲线y=f(x)的导数f'(x)表示在点x处的切线的斜率，注意是切线的斜率，不是切线的方向，它是标量，不是向量。任意曲线y=f(x1,x2,...xn)，对每一个变量求取偏导数，得到一个向量（df(X)/dx1,df(X)/dx2,....,df(X)/dxn)，这个向量就是函数在点X处的梯度，即梯度是表示曲线f(X)在X处变化最剧烈的方向，特别注意梯度并不是在点(X,f(X))处的切线方向,梯度只是在点(X,f(X))处的切线方向在X构成的“平面”上的投影。注意，对于二维直线y=kx+b，它也是可以求取梯度的，它的梯度是向量（k），只有一个值，表示的是x方向上的向量，大小是x方向上的单位变化导致y变化量的大小，即就是切线的斜率。一个问题，我们把二维直线方程y=-kx-b写为平面方程的形式，kx+y+b=0，这个时候怎么理解？我们可以理解为把y=-kx-b这条直线往z轴的两个方向拉伸得到的平面，就是kx+y+b=0。那么这个平面方程的法线就是（k,1,0)，这个法线向量与平面kx+y+b=0垂直，这个时候如果我们用XOY平面去与这个平面相交，即令z=0，就表示直线y=-kx-b，因此法线（k,1)是与直线垂直的。注意y=-kx-b的导数的含义：（-k）表示的是x轴方向的梯度，值为直线的斜率。一定要注意平面方程的形式与其它三个概念的方程形式是不同的，平面方程的右边是0，而其它三个概念的方程中必须有一个变量在等式的左边，可以表示为f(X)，或者y等形式，本质上f(X)和y都表示的是一个变量，只有方程的形式对的时候才能适用相关的计算，例如，我们不能对方程Ax+By+Cz+D=0，使用梯度或者导数的计算，这个地方非常容易混淆，特此提醒！pku，sewm，shinning