第01讲矢量分析与场论

第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的分布和变化规律。为此，在数学上引入了场的概念。如果在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此空间里确定了该物理量的一个场。如教室中每一点都对应一个确定的温度，教室中确立一个温度场。地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。比如：T是温度场中的物理量，T就是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。场的分类：按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。力场、速度场等为矢量场。按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。动态场：场量随时间的变化而变化的场。动态场也称为时变场。数量场的等值面一般地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x，y，z的函数，即：),,(zyxuu就是说，一个数量场可以用一个数性函数来表示。场存在的空间即为其定义域。此后，我们总假定这个函数单值、连续且一阶可导。在数量场中，使函数u取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。如温度场的等温面，电场的等位面等。显然，数量场的等值面方程为：czyxu),,(（常数）给定不同的常数c，就得到不同的等值面。如图，c取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相2cu1cu3cu交。因为数量场中的每一点),,(0000zyxM都有一个等值面),,(),,(000zyxuzyxu通过，而且由于函数u为单值，故一个点只能在一个等值面上。例求数量场2()uxyz通过点(1,0,1)的等值面。解：等值面方程的一般形式为：czyxu2)(因为点(1,0,1)在等值面上，其坐标必满足该方程01)01()1,0,1(2uc故要求的等值面方程为0)(2zyx或2)(yxz与三维数量场的等值面对应，在函数),(yxu所表示的平面数量场中，具有相同数值的所有点所连成的曲线称为此数量场的等值线。其方程为：cyxu),(（常数）如地形图上的等高线等。数量场的等值面或等值线，可以帮助我们直观地了解场中物理量的分布状况和变化快慢。矢量场的矢量线矢量场中的场矢量A，是场中点的位置的函数。在直角坐标系中，即为x，y，z的函数：),,(zyxAA或zzyxAyzyxAxzyxAAzyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(其中zyxAAA,,以后一般都假定为单值、连续且一阶连续可导。为了直观地描述矢量场的分布情况，引入矢量线的概念：在其上每一点处，它都与该点的场矢量A相切的曲线，称为该矢量场的矢量线。如静电场中的电力线，磁场中的磁力线等。2，矢性函数设t是一数性变量，A为变矢，如果对于某一区间内G[a，b]的每一个数值t，A都以一个确定的矢量)(tA与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为：)(tAA。而G为A的定义域。矢性函数)(tA在直角坐标系中的三个分量（或投影）都是变量t的函数，分别为)(tAx，)(tAy，)(tAz。则矢性函数)(tA也可用其分量表示为：ztAytAxtAAzyxˆ)(ˆ)(ˆ)(其中xˆ，yˆ，zˆ为x，y，z轴正向的单位矢量。xyz)(tA认为所有的)(tA的起点都在坐标原点，这样，当t变化时，)(tA的终点M就描绘出一条曲线l，该曲线称为矢性函数)(tA的矢端曲线或图形。反之，)(tAA或ztAytAxtAAzyxˆ)(ˆ)(ˆ)(称为曲线l的矢量方程。)(tA的端点M是l上的一个动点，其三个坐标x，y，z随t的变化规律分别为：)(tAxx，)(tAyy，)(tAzz这就是曲线l的参数方程。3，矢性函数的导数与微分设)(tA是t的矢性函数，当数性变量t在其定义域内从t变到)0(ttt时，对应的矢量从)(tA变化到)(ttA，则称)()(tAttAA为)(tA对应于t的增量。ttAttAtA)()(在，则称)(tA在点t可导，在0t时的极限存并称此极限为)(tA在点t处的导数。ztAytAxtAtAzyxˆ)(ˆ)(ˆ)()(设矢性函数的三个分量)(tAx，)(tAy，)(tAz在t处均可导，则有：O)(ttA)(tAAztAytAxtAtAdtAdztytxttˆlimˆlimˆlimlim0000zdtdAydtdAxdtdAzyxˆˆˆ这样就把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的导数的计算。例设二矢性函数yxeˆsinˆcos)(yxeˆcosˆsin)(1证明：)()(1ee，)()(1ee，且)()(1ee)(1e)(e证：yxeˆ)(sinˆ)(cos)(yxˆcosˆsin)(1eyxeˆ)(cosˆ)sin()(1yxˆsinˆcos)(e0cossin)sin(cos)()(1ee∴)()(1eee和)(1e都是单位矢量，故其图形都是单位圆。)90()(1ee如图，当0t时，tA指向与A一致，指向t值增大的一方；当0t0tO)(ttA)(tAAMN)(tAtA0tO)(ttA)(tAAMN)(tAtA时，其指向与A相反，但因此时A指向t减小的一方，故它仍指向t增大的一方。当0t时，由于割线MN绕点M转动，其极限位置为M处（即t点）的切线，因为tA在MN上，故当0t时的极限位置也在M处的切线上，即tAdtAdt0lim是点M处（即t处）的切线上指向t增大一方的矢量。即导数是矢端曲线在t处的切向矢量，其指向对应t增大的一方。设)(tAA，)(tBB和)(tuu可导，则有：1°0cdtd（c——常矢量）2°dtBddtAdBAdtd)(3°dtAdkAkdtd)(（k——常数）4°dtAduAdtduAudtd)(5°dtBdABdtAdBAdtd)(6°dtBdABdtAdBAdtd)(7°复合函数的导数设)(uAA，)(tuu，则：dtduduAddtAd例证明矢性函数)(tA的模为常数的充要条件是0dtAdA。证：必要性：若A常数，则2AAA常数两边对t求导并利用运算法则5°，即可得到0dtAdA充分性：若0dtAdA，则有02)(2dtAdAAAdtdAdtd因而2A常数也就是A常数可见，例1-1中的结果是显然的。例已知)(tA与一非零常矢量B满足tBtA)(，又知)(tA与B之间的夹角为常数，试证明。)()(tAtA证：tBtA)(两边对t求导得：1)(BtA即1cos)(BtA∴为常数，B为常数，∴)(tA为常数，由例1-3的结论得：)()(tAtA与标量函数类似，)(tA在t处的微分定义为：dttAAd)(显然Ad是一个矢量，且也在)(tA的矢端曲线l在t处的切线方向上，但不恒指向t增大的一方，当0t时，与)(tA方向一致（t增大一方）；而当0t时，与)(tA相反（t减小一方）。由微分的定义可以将其用各分量的微分表示出来：dtztAytAxtAdttAAdzyx]ˆ)(ˆ)(ˆ)([)(zdttAydttAxdttAzyxˆ)(ˆ)(ˆ)(zdAydAxdAzyxˆˆˆ4，矢性函数的积分一、不定积分若在t的某个区间[a，b]上，)()(tAtB，则称)(tB为)(tA在该区间上的一个原函数，而)(tA的全体原函数称为)(tA在此区间上的不定积分。记为：dttA)(因为常矢量c的导数0c，故若)(tB为)(tA的一个原函数，则)(tA的全体原函数为ctB)(，其中c为任意常矢。所以：ctBdttA)()(由于矢性函数不定积分与数性函数不定积分定义的相似性，数性函数不定积分的基本性质仍然成立。与数性函数的积分类似，矢性函数的积分具有下列性质1°dttAkdttAk)()]([2°dttBdttAdttBtA)()()]()([3°dttuadtatu)()(4°dttAadttAa)()(5°dttAadttAa)()(6°换元积分法：设)(uA具有原函数)(uB，)(tu可导，则)]([tB为)()]([tutuA的原函数，即：ctBdtttA)]([)()]([7°分部积分法：dttBtAtBtAdttBtA)()()()()()(其中k是常数，a是常矢量若ztAytAxtAAzyxˆ)(ˆ)(ˆ)(，则根据2°，3°有dttAkdttAjdttAidttAzyx)()()()(这样，求一个矢性函数的不定积分，就转化为求三个数性函数的不定积分。例计算de)1(22解：yxeˆ)1sin(ˆ)1cos()1(222换元，令12u，则：dueude)]([)()1(22cueduue)()(1ce)1(21cyxˆ)1cos(ˆ)1sin(22二、定积分定积分的计算有类似于数性函数牛顿―莱布尼兹公式的计算公式：若)(tB是)(tA在区间],[21TT上的一个原函数，则：)()()(2112TTTBTBdttA例计算)0()2(){201eede解：)0()2(){201eede)ˆ0sinˆ0(cos)ˆ2sinˆ2(cosyxyxyxˆˆ更一般的方法是象不定积分一样，把矢性函数的定积分转化为三个数性函数定积分的计算：21212121)()()()(TTzTTyTTxTTdttAkdttAjdttAidttA上例中20201)ˆcosˆsin()(dyxde2020cosˆsinˆdydx2020sinˆcosˆyxyxˆˆ