第02讲轴对称

让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)9ABCDO第2讲轴对称几何，当它与艺术结合起来时，其力量是不可抗拒的。——欧里庇得斯知识方法扫描1、轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称，线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；角也是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴。2、轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也叫做轴对称。3、线段和角都是轴对称图形，线段的垂直平分线和角的平分线是它们的对称轴；等腰三角形也是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高。经典例题解析例1．在直角坐标系中，A点的坐标是(2,3),则A点关于x轴的对称点的坐标是,A点关于y轴的对称点的坐标是,A点关于直线y=x的对称点的坐标是,A点关于直线y=-x的对称点的坐标是.解A点关于x轴的对称点的坐标是（2，-3），A点关于y轴的对称点的坐标是（-2，3），A点关于直线y=x的对称点的坐标是（3，2），A点关于直线y=-x的对称点的坐标是(-3,-2).评注一般地，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标是(a,-b),关于y轴的对称点的坐标是(-a,b),关于直线y=x的对称点的坐标是(b,a),关于直线y=-x的对称点的坐标是(-b,-a).例2．如图,已知∠AOB与线段CD,求作一点P,使点P到CD的两端点距离相等且∠AOB两边的距离也相等.解(1)作线段CD的垂直平分线MN；(2)作∠AOB的平分线OE交MN于点P,由作法知点P既在CD的垂直平分线上,又在∠AOB的角平分线上,∴点P为所求.例3．有一张矩形纸片ABCD，上面画有一个角的两边m，n，但是这个角的顶点P在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线来。作法：(1)在纸片上作直线h⊥m；作n关于h的对称直线n’,n’与m交于P’；(2)作∠P’的平分线p’;(3)作p’关于h的对称直线p.让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)10nmABDCnmhn'p'pABDCP'则p所在的直线也是∠P的平分线所在的直线。评注我们将这种类型的题称为不可及点作图问题这个利用轴对称变换来解答的作法是解决不可及点作图问题的一般方法。例4．设D为等腰△ABC底边BC的中点，E为△ABD内任一点，求证：.AECAEB证明如图，以AD为对称轴，作△AE'C对称于△AEB.设EC交AD于F，EC=EF+FC=EF+FBBE．于是E’必落在△AFC的内部.延长AE'交EC于G，则.'AECAGCCAE.,'AECAEBCAEAEB例5．（2001年广西“创新杯”初中数学竞赛试题）在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当点M的横坐标的值是多少时，MP＋MQ的值最小？解作点Q关于x轴的对称点（2，－1）。设直线PR为y＝kx＋b，则有.21,55bkbk解得.5,2bk所以直线PR的解析式为y＝2x－5。令y＝0，解出x＝25即为所求。下面证明点M0（25，0）使MP＋MQ取最小值。设PR与x轴的交点为M0（25，0），在x轴上任取一点M，因为点Q关于x轴的对称点为R，易知x轴垂直平分QR，于是M0Q＝M0R，MQ＝MR，由三角形三边关系，知MP＋MR≥PR，而PR＝PM0＋M0R＝M0P＋M0Q，所以MP＋MQ≥M0P＋M0Q。即M0（25，0）使MP＋MQ取最小值。例6．（2003年重庆市初中数学竞赛试题）某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45。角击出，恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC=()。让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)11ABDCABDCHA'B'M'MGMFE(A)1:2(B)2:3(C)2:5(D)3:5解作A点关于BC的对称点A’，B点关于AD的对称点B’，设CD的中点为M，作M点关于AD的对称点M’，关于BC的对称点M”。连A’M’交AD、BC于H、G，连B’M”交AD、BC于E、F。小球路线为A→H→G→M→F→E→B.不难看出，AE=EG=2GD=CD，故AB:BC=2:5.例7．在△ABC中，,2ABCACBP是△ABC形内一点，且AP=AC，PB=PC。求证：BAPBAC证明作PM⊥BC于M，作A关于PM的对称点A’，连结A'B、A'P、AA’．∵A、A’关于PM对称，PM⊥BC，AA’∥BC..2'ABCACBBCA.''ABAABCBAA∴A'B=A’A=AC=AP=A’P.∴A'AP为等边三角形，.60'BAPABAABC.21202BAPABCACB,180BACACBABC即,180)2120()60(BACBAPBAP.3BAPBAC例8．（第十二届“希望杯”数学竞赛试题）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，求线段AD与AB的比。分析将矩形ABCD四个角向内翻折，利用轴对称，知△AEH与△MEH重合，△BEF与△MEF重合．解将△AEH折起与△MEH重合，得AE=EM．同理，将△BEF折起与△MEF重合，得BE=EM，故AE=BE.∴E是AB的中点．同理，可得G是CD的中点，连EG.∴EG∥AD，EG=AD.又EG是矩形EFGH的一条对角线，∴EG=HF．AD=HF．在矩形EFGH中，EH=3，EF=4，∴HF=5．AD=5．又在Rt△EFH中，让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)1212EABCFD,2121EFEHHFEMsEFH512HFEFEHEM又E是AB的中点，52422EMAEAB2425ABAD评注图形经过翻折，实际是做轴对称变换，可以带来很多的边、角相等条件，合理的利用这些条件，可快速、简捷的解决题目，同步训练一选择题1．下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有()(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个．2．点P（2，1）关于x轴的对称点的坐标为（）（A）（2，1）（B）（2，1）（C）（2，1）（D）（1，2）3．如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则得到的图形是()4．已知平面上的两点A，B，下列说法不正确的是()(A)点A、点B关于AB的垂直平分线对称(B)点A、点B可以看作以直线AB为轴的轴对称图形(C)点A、点B是轴对称图形，且只有一条对称轴(D)点A、点B是轴对称图形，有两条对称轴5．如图，把矩形ABCD纸片对折，得折痕MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，所得到的△EAF是()．(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)等腰直角三角形(D)直角三角形二填空题6．线段有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有条对称轴。7．如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD是∠BAC的平分线,让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)13ABCMNABBCADPEF垂直平分AD,交BC的延长线于F,则∠CAF=8．如图,已知三点A、B、C不在同一直线上,作出(1)直线l1,使A,B两点关于直线l1对称；(2)直线l2,使A,C两点关于直线l2对称；(3)直线l3,使B,C两点关于直线l3对称.观察l1,l2,l3，你从中可以发现的规律是9．如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值为．10．在△ABC中，,2CBAD是△ABC的高，BD=3，AB=5，则CD=。三解答题11．如图,已知直线MN与MN异侧两点A、B,在MN上求作一点P,使线段|PA－PB|最大.12．如图，△ABC中，ABAC，AD⊥BC，垂足为D，P为AD上任一点，求证：PB-PCAB-AC13．小华用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式(如图),你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面上出现一个正确的等式？14．如图所示，在直角坐标系中，点A（-6，3），点B（-2，5），点C(0，m)，点D（n，0）．当四边形ABCD的周长最短时，求点C、点D的坐标．15．如图，平行线a,b是一条灌溉渠道的两岸，A，B是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，问此桥应该架在何处？abAB