第42讲柯西不等式与排序不等式及应用

2013年高考第一轮复习资—理科数学1第42讲柯西不等式与排序不等式及应用【考点解读】1.认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题；2.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.【知识扫描】1.柯西（Cauchy）不等式22211nnbababa2222122221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（k为常数，ni2,1）2.排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12aa···na;12bb···nb.12,,cc···nc是12,bb，···,nb的任一排列,则有1122abab···+nnab(同序和)1122acac+···+nnac(乱序和)121nnabab+···+1nab(反序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时，反序和等于同序和.【考计点拔】牛刀小试：221.,,10,()abRabab若且则的取值范围是A.-25,25.210,210B.10,10C.5,5D.222.1,23()xyxy已知那么的最小值是562536A....653625BCD3.2121______yxx函数的最大值为224,,326,2______xyxyPxy设实数满足则的最大值是5．已知321xy，求22xy的最小值。参考答案：1．A2、B3．34．115．1312013年高考第一轮复习资—理科数学25．（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy【典例解析】柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：考点一：证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点00,xy及直线:l0xyC220设点p是直线l上的任意一点，则0xxC（1）22120101ppxxyy（2）点12pp两点间的距离12pp就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有222201010101xxyyxxyy0011xyCxyC由（1）（2）得：221200ppxyC即001222xyCpp（3）当且仅当0101:yyxx12ppl（3）式取等号即点到直线的距离公式即001222xyCpp考点二：证明不等式例2：已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式2013年高考第一轮复习资—理科数学323131312222222222abcaabbcc222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc考点三：解三角形的相关问题例3设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。考点四：求最值例4：已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd2013年高考第一轮复习资—理科数学4由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a考点五：利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程22294862439xyzxyy解：由柯西不等式，得222222286248624xyzxyy①2222228624xyz2964364144394又22862439xyy222222286248624xyzxyz即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz它与862439xyy联立，可得613x926y1813z【变式训练1】已知,11122abba求证：122ba。证明：由柯西不等式，得11111222222bbaaabba当且仅当abab2211时，上式取等号，2013年高考第一轮复习资—理科数学5,1122baab,112222baba于是122ba【变式训练2】解方程22221111211xxxxxx【解析】：22221111xxxx=22221111xxxx由柯西不等式知xxxxxxxx1111112222即,)1(12)1()1(112222xxxxxx)1(12)1(1)1(12222xxxxxx当上式取等号时有)1(1)1(xxxx成立，即012xx（无实根）或012xx，即251x，经检验，原方程的根为251x