第06章万有引力定律

96第六章万有引力定律习题6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行.试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为Tt42.[解答]322232223222GMGMT4F11a,rattrGMmr22rGMT11TrGMt,GMt,t2242中中中中中中，6.2.1土星质量为265.710kg，太阳质量为302.010kg，二者的平均距离是121.410m.（1）太阳对土星的引力有多大？（2）设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度.[解答]（1）232GMMF1.510Nr土太（2）2322GMGMGMMaF,a,9.7610(m/s)rrrr太太太，6.2.2某流星距地面一个地球半径，求其加速度.[解答]222GMGMGM11ag(2R)4R4R4地地地6.2.3（1）一个球形物体以角速度旋转.如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转速为每秒30转的脉冲星的最小密度.这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果.（2）如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（~30210kg或~5e310M，eM为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？（3）若脉冲星的密度与核物质的相当，它的半径是多少?核密度约为1731.210kg/m.[解答]97（1）以最外层任一质元计算：3224rm3Gmrr2214311(302)1.310(kg/m)44G6.61033（2）35343MMr,r1.510(m)34（3）34Mr3核可求。6.2.4距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动.地球距太阳8光分.设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力.试求以太阳质量为单位银河系质量.[解答]2223GMMMrrrM/MG河太太河太6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s,近日点的速度为80km/s若地球在半径为81.510km的圆周轨道绕日运动，速度为30km/s.求此彗星的远日点距离.[解答]22222222GMMm,GMRRRGMMmGMrrrRr太地地太太地近近近慧太近近近近，又228Rr8rr远远近近，6.2.6一匀质细杆长L质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力(亦称引力场强度).[解答]98dL2dMGdmLFxxdL2dMdGmLM11Gm()LddLGMmd(d+L)xx单位质量受力：GMmGMdE/m=d(d+L)d(d+L)6.2.7半径为R的细半圆环线密度为.求位于圆心处单位质量质点受到的引力.[解答]20GRdmFR20GRmdRGmRGmR引力场强度：GR6.3.1考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半.求此行星极点处的粒子的逃逸速度.[解答]设粒子在极点处的逃逸速度为，由能量关系21GMmm()02R22GMR（1）根据重力的概念：cWFf0其中W为重力，F为万有引力，cf为惯性离心力99在赤道：22GMmmvmaRR赤（2）在极点：2GMmmaR极(3)(3)式比（2）式得：222GMGMv/()2RRR即：2GM2vR（4）（4）式代入（1）式得：2v6.3.2已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，围绕地球的大圆周长为7410m，月球与地球的直径及质量之比分别为是meD/D0.27和meM/M0.0123.试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度.[解答]设月球的逃逸速度为，无穷远处，引力势能为零。地球大圆周长为e2R由能量关系，月球的逃逸速度满足：2mmGMm1m2R（m为逃逸质点的质量）2mm2GMR（1）地球表面的重力加速度满足：e2eGMmmgR（忽略地球自转影响）2eeRgG=M（2）（2）式代入（1）式有：10022emem2RgMMR（3）又有：eR2（4）（4）式代入(3)式32.3810m/s