第06章套利规则

258第06章套利规则一、套利的故事雷·凯利是美国一个成功的商人。在他还是一个小伙子时，就开始运用套利活动获取利润。那是在20世纪60时年代的一次暴风雪中，雷·凯利利用一家五金商店成功进行了一次套利活动而发展了起来。当时，这家商店中有一只价格为265美元的大雪鼓风机。那天早上七点商店开门后，雷·凯利用他爸爸的一张信用卡而未支付一分钱就赊账购买了那只鼓风机，那天他那一直干到晚上八点钟，为附近的居民们弄出了11条很长的私人车道，赚了550美元。第二天早上七点，他又以200美元的价格把那个鼓风机卖回给五金商店的主人，雷·凯利仅把差价还给了五金商店。这样，雷·凯利就净赚了485美元。还有一个众人周知的故事，很多人把此事作为套利事件。这就是，在电话刚出现的前二十年里，美国股票交易所的股票报价大多数都是由电传打字机构发出的，这种交易所就是我们现在所说的利用顾客的资金买空卖空的交易所。这些小交易所允许客户先知道一个报价，然后再发出是买进还是抛出的指令。所不同的是其所有人是“赌注者”或者该地区的专家，而且与其说是叫牌交易，不如说是有某个人预定了的交易。例如，自动报价机会告诉你伊士曼.柯达在66.5点上交易。客户说：“买进500”。然后交易所的所有人就会确认购买并且担当交易中另一方的角色。一个有电话的聪明家伙最后合计出用电话要比用纽约股票交易所底层的电传打字机快得多。他一般都会与交易所进行一些比较小的交易以示他在场，但总是在有波动的时候与他的同伙保持联系。如果有坏消息传出来，他就可能发现伊士曼.柯达在纸带上的记录是66.5。而在纽约的公告中却是65点。因此，他就会尽可能多地以66.5卖给交易所的所有人并通过它的朋友从纽约股票交易所的大厅以65点买回。不久之后，这个聪明的家伙就雇用了一些人去那些小交易所交易而使那些机构没有生意可做。最后，剩下的小交易所都有了他们自己的电话。这种行为是否是不道德的还是一种更有效的市场定价方法？不同的人从不同的角度看是不一样的，交易所的所有人认为套利者的行为是错误的，而纽约的经纪人却喜欢不断增加的委托业务和套利者。套利者自己则认为，既然电话对每个人都是开放的，他们只是在使用一些任何一个聪明人都能领会到的东西。他们认为自己没有义务去向那些人解释，那些人最终会领悟到的。随着时间的流逝，总是会有一些人想要阻止套利行为或者加入到其中，使这些获利机会变得更少。二、人们对套利的认识套利是金融市场中的一种交易行为，是利用在两个或更多市场中的同时交易来套取市场间259的价格或价值的差异。这种行为最通俗的解释是：通过买卖金融产品，不花钱就可以赚钱。人们对套利的认识有很多种，对此也有许多不同的解释，下面列出三种较重要的观点：(1)套利分为两种，套利者利用空间上的不合理的价格关系而通过同时买进和卖出来获利，称之为空间套利；利用时间上的不合理的价格关系而通过同时买进和卖出来获利，称之为时间套利。——马歇尔（J.F.Marshall）。(2)同时买进和卖出相似金融工具和相关期货合约，以便从其价格关系的暂时反常中获取利益的交易策略。——卡罗尔（B.L.Carroll）。(3)如果同时买进和卖出的过程包括两个不同的市场，或两种具有相同收益曲线的不同的政权，则这种策略称之为套利。——鲍尔斯（M.J.Powers）与卡斯特里诺（M.G.Castelino）从上面的三个定义可以看出其共同点在于：都必须同时买进和卖出相关的金融商品。相比较而言，马歇尔的定义更为全面一些。对于空间套利，最直观和明显的形式是在一个市场上购买某种商品，同时在另一个市场上出售同种商品。商品在价格低的市场上买进而在价格高的市场上卖出。套利者从市场间的价格差中套取利润。这种形式的套利也称为地理套利，是最早的套利形式之一。实际上，从某种意义上讲，这是大部分经商活动的基础。为使空间套利有利可图，两个市场间的价差必须大到能弥补因此所产生的交易和运输费用。例如，假设商品可以以运输费用T1,2在市场1和市场2之间运送，买卖商品的总交易费用为R1,2。则只有当高价市场中商品的价格比低价市场中该商品价格高出部分大于T1,2+R1,2时，空间套利才有利可图。当足够大的价差产生后，套利者就很快利用这一价差套利。但是，随着他们在便宜市场购买商品，会促使这个市场中的价格上涨。同时，随着他们在昂贵的市场上出售商品，会促使该市场中的价格下跌。最后，套利的总体作用将把两个市场拉回到平衡状态。假如没有人为的贸易壁垒，上面所述的空间套利者的行为将确保两个不同市场上同种商品的价格之差不会超过交易和运输费用。实际上，这种思想导致地理市场均衡理论，现在称作一价定律。一价定律表明：i市场的价格，记作Pi；j市场的价格，记作Pj,有下列等式所定义的关系：Pi=Pj+Zi,j…（1）其中—（Ti,j+Ri,j）≤Zi,j≤(Ti,j+Ri,j),Zi,j是在运输和交易费用确定的区间变动的随机数。一价定律可以推广到不同货币。例如，如果市场i的商品价格以货币i表示，而市场j的商品价格以货币j表示，则一价定律还必须反映出货币i和货币j之间的汇率。如果我们记这个汇率为Ei,j,则一价定律可以下列等式给出：Pi=PjEi,j+Zi,j…(2)上式可以作如下解释：以货币i表示的市场i中商品的价格必须等于以货币j表示的市场j中的价格乘以货币j兑换成i的汇率。Zi,j和上式中的是同一个随机数。另一种历史很长的套利是时间套利，有时叫做持有成本套利。它只适用于可以储存的商品。260在这种形式的套利中购买商品的市场和出售商品的市场不同的是时间而不是空间。时间套利要求当前购买（或卖出）一种资产，同时承诺在将来某个时候卖出（或买进）某项资产。例如，一个谷物栈仓可能在即期市场购买玉米（借款支付），同时卖出一个3个月后交割玉米的远期合同。到指定时间，玉米从栈仓中取出进行交割。出售所得即用来连本带利偿还借款。如果远期价格和即期价格的差足以支付三个月的仓储成本和利息，该套利活动有利可图。仓储成本和利息费用的总和，减去任何可能因为拥有玉米实物而带来的便利收益，就称作持有成本。因此，如果即期和远期的价差超过持有成本，时间套利就有利可图。时间套利也可更一般的表述为：套利者发现立即发货（现货）的商品的买价为Pi(t),推迟发货（远期）的卖价为Fi(t,T),两者之间的差应等于持有成本，持有成本用Gi(t,T)表示，定义为利息成本加上储存成本减去任何因持有商品所带来的方便舒适的好处。可用等式表示如下：Fi(t,T)=Pi(t)+Gi(t,T)……(3)由上述三式可综合为一个更一般的既可解释空间又可解释时间价格关系的均衡条件。用等式（4）表示如下：Fi(t,T)=Pj(t)Ei,j(t)+Gi(t,T)+Zi,j……(4)其中，－(Ti,j+Ri,j+Ci,j)≤Zi,j≤(Ti,j+Ri,j+Ci,j)只要定价偏离等式（4）所给出的价格，有利可图的套利机会就会产生。如果套利无法消除这种偏离，通常就表明存在某种贸易壁垒。需要说明一点的是，在学术界，套利常常被描述为没有投资也没有风险的有利可图的经营活动。实际上，当使用这个定义时，我们经常使用理论套利或纯粹套利来说明其中的涵义。理论上的定义假定所有的交易，包括买和卖，可以同时发生，而且头寸可完全用贷款来融资(无资本)。由于这种理论观点很普遍，所以学术研究人员把有效率的市场定义为不能产生有利可图的套利机会的市场。实际上，实际的套利通常不能在完全没有投资，至少应有短暂的投资的情况下有效的进行，而且也极少是完全没有风险的。例如，假设某套利者发现了一个有利可图的市场价格失衡。他试图通过在廉价市场上买进并在高价市场上卖出来谋取利润。如果这两个交易能同时通过对卖方对手和对买方对手说一声“成交”就能同步进行，那是没有交易风险的。但实际上，通常的交易只能是接近于同时。即在买进和卖出这两个交易活动之间会有几秒钟的间隔。很可能对方之一会在第二个交易实现之前收回他（她）的交易承诺。在这种情况下，套利者就会处于头寸暴露的状态（空头或者多头），必须很快轧平获结清头寸——即使会引起亏损也罢。即使套利的两种交易能完全同时进行，某一方交易对手也有可能发生违约。很多潜在的有利的套利机会都是因为违约而失败的。在认识到以上事实后，套利更好的定义可能应当是“通过利用两个或更多市场的价格差异，以很少的投资赚取低风险收益的商业交易活动”。三、套利的数学定义以上是套利的文字上的表述，下面用数学语言来描述一下。261（一）单期套利1.假设与符号假设条件：（1）资产及其收益状态都是有限的；（2）资产的价格都为正；（3）市场无交易费用；（4）金融产品可任意分割。令市场中有N种资产，S种可能的收益状态；V=(v1....,vN)‘：N种资产的价格向量；n=(n1,….,nN)‘：一个投资组合中各个资产的数量；Y1=（Y1，…YS）:单期期末的资产价格矩阵，其意味着N种资产一共有S个价格状态，Yj意味着当第j个状态发生时每个资产期末的价格；NY~为取值于Y的各个列向量的随机向量；SY~为取值于Y的各个行向量的随机向量；iY~表示第i项资产的（S个构成状态的）价格向量。收益矩阵Z：收益=收益率+1，则Z=YDv-1，其中Dv=diag(v1,….,vN)可见Z的行列意义是与Y的行列意义相对应的,NZ~为取值于Z的各个列向量的随机向量；SZ~为取值于Z的各个行向量的随机向量；iZ~表示第i项资产的（S个状态构成的）收益向量。η=(η1,…ηN)‘：代表了一个投资组合投资于各个资产的份额所构成的向量，ηi代表向第i种资产投资的份额大小，我们常将ηi正规化为iNjjjiIwvnvn1；w=(w1，…，wN)，I，w=1，I=(1，1，…，1)，N×1：一个投资组合的权重表示，wi为投资于第i项资产的权重，wi0则意味着卖空第i项资产。2.定义由上面的假定以及符号我们先引出几个基本的定义：（1）套利投资组合：I，η=0的投资组合，即买进与卖空资产的总额相等，常将该投资组合表示为ω=(ω1,…,ωN),I，ω=0；（2）无风险投资组合：Zw=RI，I，w=1，其中R-1为无风险利率，则w成为无风险投资组合。（3）可复制的投资组合：两个投资组合w1≠w2，但Zw1=Zw2，则w1，w2都称为可复制的投资组合。由可复制的定义可知：若一个收益矩阵Z具有可复制的投资组合，则Z的任意一个投资组合都是可复制的。这是因为：若Zw1=Zw2，则对于任意的w都有Zw=Z(w+r(w1－w2))，其262中r为任意正数。（4）冗余资产：收益矩阵Z中有一项或多项是冗余资产，当且仅当存在一个投资组合ω,s.t.Zω=0S×1，I，ω=0，ω≠0N×1。可以证明：冗余资产来自于Z的列向量当中，具有共线性的向量。很明显，含有冗余资产的投资组合，对于我们的研究没有任何价值，因此冗余资产须从收益矩阵中删除。我们注意到，共线性只是充分条件。如收益矩阵120001中前两个向量具有共线性，但他们都不是冗余资产，相反，以后可以看到这样的资产是我们所需要的。（5）可保状态：收益矩阵Z，若存在一个投资组合η,s.t.Zη=Is，其中，Is=(0,…0,1/s,0,…,0)，,则称第s个状态是可保的。由定义可知，可保意味着花I，η份钱就可以买到这样一个保险：当第s个状态发生时可得到1块钱。另外，可保的状态显然与其他状态线性无关。（6）受控的投资组合：如果Zw1≥Zw2，则称w2是受控于w1的投资组合。由定义显然：若一个收益矩阵Z具有受控投资组合，则任意一个投资组合都是受控投资组合（若Zw1≥Zw2，则对任意w都有Zw≤Z(w+r(w1－w2)),其中r为任意正数）。若Z中存在受控的投资组合Zw1≥Zw2，则只要卖空右边的投资组合同时全部将所得用于买进左边的投资组合，就可以不花钱却赚钱——套利。若要保证不存在受控投资组合，就要保证无套利。考虑到：(1)Zw1≥Zw2，则Z(w1－w2)≥0S*1I，(w1－w2)=0；(2)若Zw1Zw2，则存在a1,s.tZw1a1≧Zw2,可知：Z(w1a