第08讲角动量本征方程的解12

第09-11讲角动量本征方程的解一、角动量和角总动量算符的回忆刚体转子的薛定谔方程EH中IMH2ˆ=2因此方程即是EIM2ˆ2Ⅱ-1整理后得22ˆ2ˆMIEMⅡ-2其中2222ˆˆ+ˆˆzyxMMMM且],[ˆyzzyiMx][ˆzzzziMy,][ˆxyyxiMz.式Ⅱ-2也是角动量2M的本征方程。为了方便求解方程，采用球极坐标的形式，球坐标与直角坐标的变换关系cossinrx(r:0)sinsinry(:0)cosrz(:02)(Ⅱ—3)逆变换关系是222zyxr222coszyxzxytan(Ⅱ—4)于是有偏微商关系cossinxrsinsinyrcoszrrxcoscosrysincosrzsinsinsinrxsincosry0z则得yzzyiMxyyryrrzzrzrricossinsin]coscotsincossinsinsinsincoscossinsin[22rrricoscotsini同法得sincotcosiMyiMz(Ⅱ---5)222yzzyiMx）（22coscotsin）（icoscotsincoscotsin2)coscotcotcossincotsincoscotcoscotcossinsin1cossin(sin2222222222222－222zxxziMy）（sincotcossincotcossincotcos2222yM)sincotcotcossincotsincoscotsincotcossinsinsin1cos(cos22222222222222222ˆˆ+ˆˆzyxMMMM)coscotcotcossincotsincoscotcoscotcossinsin1cossin(sin2222222222222－)sincotcotcossincotsincoscotsincotcossinsinsin1cos(cos2222222222222222)cotcot(22222222))1(cotcot(222222)sin1cot(222222)sin1sinsin1(222222222sin1sinsin1M(Ⅱ—6)方程（Ⅱ—2）即为­),(),(2),(sin1sinsin122222kIE(Ⅱ---7)其中常数22IEk。用分离变量法，令)()(),((Ⅱ----8)代入方程式（Ⅱ---7）并移项整理后得222)(1sin)(sin)(sink(Ⅱ—9)上式左右两边分别是独立变量和的函数，要等式成立它们都应等于同一常数，令此常数为C。即得两个独立的全微分方程Ckdddd2sin)]([sin)(sin(Ⅱ---10)Cdd)()(122(Ⅱ---11)先讨论含变量的方程(Ⅱ---11)，方程移项得0)(22Cdd(Ⅱ---12)这是一个常系数二阶常微分方程，其解为ciAe)((Ⅱ---13)根据周期性边界条件)0()2(，即要求102ciciee所以2,mCmC,2,1,0m因此ciAe)(,2,1,0m代入关系式1)()(*20d，得归一化常数为21A,于是ime21)(,2,1,0m(Ⅱ---14)以上是解的复数形式，如果对m相同的解进行线性组合就可得到另一套实数形式的解，即m=02121)(0imem0)cos(21)]()([21)(mmmm(Ⅱ---15))sin(21)]()([21)(/mimmm利用关系式C=㎡，就可求解含变量的方程(Ⅱ---10)，即22sin)]([sin)(sinmkdddd移项后0]sin[)]([sinsin122mkdddd(Ⅱ---16)作变量交换，令;cosz)()(zP(Ⅱ---17)利用dzddzdddzddsin和关系式(Ⅱ---17)，(Ⅱ---16)式变成0]cos1[])([sin122mkdzzdPdzdddz0]cos1[])([)sin(sin122mkdzzdPdzd0])1([2)1(22222PzmkdzdPzdzPdz(Ⅱ---18)上式称为关联勒让德方程。当m=0时称为勒让德方程：02)1(222kPdzdPzdzPdz(Ⅱ---19)先讨论式(Ⅱ---19)勒让德方程的解。因为z=cos,而0，所以-1z1,因为可在z=0的领域将P(x)用幂级数展开，然而用级数法求解，即02210....)(JJJzazazaazP(Ⅱ---20)11232132JJJJzazazaadzdP(Ⅱ---20’)22243222)1(43322JJJzJJazazaadzPd(Ⅱ---20’’)代入方程(Ⅱ---19)，如果(Ⅱ---20)是方程的解，则方程就变成恒等式，0110222222)1()1(2)1(JJJJJJJJJzakJzazzJJazkPdzdPzdzPdz022)1()1(01222＝－JJJJJJJJJJJJzakJzazJJazJJa02)1()1)(2(01202＝－JJJJJJJJJJJJzakJzazJJazJJa022)1()1)(2(23122102122232＝－JJJJJJJJJJJJzakzkakaJzazazJJazJJazaa02)1()1)(2(])2(23[]2[222221302＝－JJJJJJJJJJJJzakJzazJJazJJazakakaa0]2)1()1)(2([])2(23[]2[221302＝JJJJJJzkaJaJJaJJazakakaa0]))1(()1)(2[(])2(23[]2[221302＝JJJJzakJJaJJzakakaa那么恒等式中z的任意次幂的系数都应等于零。对于Jz的系数，应有0))1(()1)(2(2JJakJJaJJ0202＝kaa0)2(2313＝aka于是得到系数的递推关系式JJaJJkJJa)1)(2()1(2(Ⅱ---21)022aka＝－13232aka＝因为波函数的标准化条件要求P(z)在区间-1z1上应是收敛的，即级数P(z)应该是一个有限项的多项式。从式可知只有取为一个特殊值)1(JJk(Ⅱ---22)则2Ja=0才能使级数到项终止。因为递推关系式J的间隔为2，所以若J为偶数，那么令01a此级数只有偶次项；若J为奇数，那么令00a级数只有奇次项。这样P（z）就是一个多项式。为了使递推公式中的0a和1a都是最简单的数值为1，令2)!(2/)!2(JJaJJ，再利用向低次递推关系JJakJJJJa)1)(2()!1(2(Ⅱ---23)用数学归纳法可得2Jz的系数rJa2的通式是)!2()!(!2)!22()1(2rJrJrrJaJrrJr=0，1，2，…，[J/2](Ⅱ---24)这是由2r≤J,且r为正整数而得到的关系，所以[J/2]表示不大于J/2的最大整数。于是就得到)(zPJ的多项表达式（1-4-38），即rJJrrJJzrJrJrrJzP22/0)!2()!(!)!22()1()2/1()((Ⅱ---25)另外也可得到（1-4-38）式的P(z)的微分表达式，将Jz)1(2按二项式定理rrJJrJyxrJrJyx2/0)!(!!)(展开得rJJrrJzrJrJz222/02)!(!!)1()1(对z微商J次并乘1/（!2JJ）得rJJrrJJJJJzrJrJdzdJJzdzdJJ222/02)!(!!)1(!21)1(!21(Ⅱ---26)因为rJJrJrJJJzrJrJzJrJrJrJzdzd22222)!2()!22()]1(22[)122)(22(所以微商后对不同r值的项加和只要到[J/2]就可以了，因为其余项求导后全是零了。上述结果代入(Ⅱ---26)得rJJrrJJJJJzrJrJrrJzdzdJ2]2/[02)!2()!(!)!22()1(!21)1(!21和式(Ⅱ---25)比较，取得)(zPJ的微分表达式JJJJzdzdJJzP)1(!21)(2(Ⅱ---28)下面讨论关联勒让德方程(Ⅱ---18)，由于方程在z=±1处有奇点，故勒考虑有下列形式德解)()1()(2/2zGzzPmmJ(Ⅱ---29)代入(Ⅱ---18)：0)1()1(12)1(222GmmJJGdzdzmGdzdz(Ⅱ---30)如果对勒让德方程(Ⅱ---19)微商m次，由数学归纳法可证明其结果为0)1()1()1(2)1(22222GmmJJPdzdzmPdzdzJmmJmm(Ⅱ---31)0)1()1()()1(2])[1(,222GmmJJGdzdzmGdzdzPdzdGJmm上式就成为若令这就是所要求解的方程(Ⅱ---30)，差别仅是m和m，由于这里m是微商次数，故设m≥0，于是就得方程(Ⅱ---30)解为JmmPdzdzG)(代入(Ⅱ---29)，得到关联勒让方程(Ⅱ---18)得解为JmJmJmJJmmmmJzdzdzJPdzdzzP)1()1(!21)1()(22