第09讲寻找解题途径(第02课时-变量辅助-连比设为k)

中学生数学解题能力训练第9讲寻找解题途径-连比设为k应知：设辅助量的目的是通过辅助量来找出量与量之间的关系。应会：利用辅助量。如果不能直接利用你已解决过的问题的结论或方法？，引入辅助量后能利用吗？辅助量包括几何中的添加辅助线，解析几何中的设置参数，代数和三角中的把比值设为k，降次，分式变整式，根式变有理式，超越式变代数式，求函数表达式等等。设辅助量的目的是通过辅助量来找出量与量之间的关系。1．连比设为k例.（初二）已知432zyx，求222zyxzxyzxy的值。解：设kzyx432，则kzkykx4,3,2，代入222zyxzxyzxy得2926292622222kkzyxzxyzxy。点评：对于已知条件是一串等比式的问题，常如本题这样设其比值为k，以便把有几个变量的问题转化成一个变量k的问题，从而使问题易于解决。例.（高一）若x为实数，则12)2)((cbxbcx不可能有介于b、c之间的实数值，试证明之。分析：本题关键在于设kcbxbcx22。证明：设kcbxbcx22，则022kckbbckxx，∵x为实数，∴02kckbbck，即0))((ckbk，∵此不等式是关于cb、的对称不等式，故不妨设cb，则bk或ck，∴k不可能有介于b、c之间的实数值。点评：题目中并没有声明b、c中谁大，所以必须对其大小进行讨论。例.（高一）在ABC中，A:B:C=4:2:1，求证：其中a、b、c分别为A、B、C的对边。证明：设A=4，B=2，C=，则4+2+=，即7=，由正弦定理有)2sin14sin1(2111Rba)2sin4sin2sin4sin(21R)2sin)37sin(cos3sin221R)2sin)3sin(cos3sin221R)cossin)3sin(cos3sin221Rsin21Rc1∴cba111。（第2课时）点评：注意成比例的几个量的设法。习题：1．（初二）已知aczcbybax，且cba、、各不相等，求zyx的值。2．（初二）已知xybazxzacyyzcbx)()()(，求证0222zyx3.(初二)设addccbba，求dcbadcba的值。4．（高三）已知dcba、、、是复数，且addccbba，求dcbadcba的值。中学生数学解题能力训练参考答案：1．（初二）已知aczcbybax，且cba、、各不相等，求zyx的值。解：设uaczcbybax，则buauubax)(cubuucby)(aucuuacz)(两边相加得0zyx。点评：遇到连比的题目，可以设此连比为的比值为k（或用其他字母表示）。2．（初二）已知xybazxzacyyzcbx)()()(，求证0222zyx证明：由题给等式可知0,0,0zyx，∴题给等式分子分母分别同乘zyx、、得xyzbazxyzacyxyzcbx)()()(222，令txyzbazxyzacyxyzcbx)()()(222，则xyztcbx)(2xyztacy)(2xyztbaz)(2两边相加得0)(222xyztbaaccbzyx，3.(初二)设addccbba，求dcbadcba的值。分析：可设abcdkbcda做为辅助元，同时应注意0k。解：设abcdkbcda(0k)，则,,,abkbckcdkdak，上述四个等式两边分别相乘得：abcdabcdk4，∴1k。当1k时，dcba，原式=224aa；当1k时，dcba，原式=02000d。4．（高三）已知dcba、、、是复数，且addccbba，求dcbadcba的值。解：设kaddccbba，则2)(,akkakdkcakd，32)(akkakckb，43)(akkakbka，∵0a，∴14k，∴ikikkk4321,,1,1，又3232232311kkkkkkakakakaakakakadcbadcba当1k时，原式=2111111113232；当1k时，原式=0111111113232；当ik时，原式=01111113232iiiiiiiiii；当ik时，原式=01111113232iiiiiiiiii。点评：此题容易遗漏部分解，有的只得出一个值“2”，有的只得出“2”和“0”。