第10单元解直角三角形

1初三数学第一轮总复习教案第十单元解直角三角形【考纲解读】大纲要求：1.理解正弦、余弦、正切、余切的概念，并能运用；2.掌握正弦和余弦表、正切和余切表的查法，掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；3.掌握互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化简。4.理解直角三角形的概念及锥度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；5.掌握三角形的面积公式S＝12absinа；6.理解正多边形的概念和性质，会画简单的正多边形，能将正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算转化为解直角三角形；7.利用锐角三角函数和直角三角形，把“数”和“形”互相转化解决某些问题，用数形结合的重要数学思想指导本章解各类习题，通过添加适当的辅助线构造直角三角形把非直角三角形问题转化为解直角三角形的问题，使之得以解决，这些转化的思想值解数学题的重要数学思想，掌握综合性较强的题型融会贯通地运用数学的各部分知识，提高分析解决问题的能力。知识要点：问题转化---直角三角形视角常用术语坡度方位角锐角三角函数的定义和性质【例1】在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=12，则tanB=______;（2）若cosA=45，则tanB=______．答案：（1）33（2）43（1）AC=3，AB=6（2）能，分两种情况，S△ABC=2003-150和S△ABC=2003+150230DCBA30DCBA（3）延长BC，AD交于E，AD=400-1003，BC=2003-200．【例2】（1）已知：cosα=23，则锐角α的取值范围是（）A．0°α30°B．45°α60°C．30°α45°D．60°α90°（2）（2006年潜江市）当45°θ90°时，下列各式中正确的是（）A．tanθcosθsinθB．sinθcosθtanθC．tanθsinθcosθD．cotθsinθcosθ答案：（1）A（2）A解直角三角形【例3】（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC∠的平分线，∠CAB=60°，CD=3，BD=23，求AC，AB的长．（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．【点评】设法补成含60°的直角三角形再求解．答案：（1）AC=3，AB=6（2）能，分两种情况，S△ABC=2003-150和S△ABC=2003+15030DCBA30DCBA（3）延长BC，AD交于E，AD=400-1003，BC=2003-200．3关于坡角【例4】（2005年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）（1）求山坡路AB的高度BE．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）答案：（1）8.72（2）101.73方位角.【例5】（2006年襄樊市）如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中一种常用方法．答案：不会坡度【例6】（2005年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：（1）渠面宽EF；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．答案：①4.88②710.44【巩固练习一】1．（2005年沈阳市）在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．3．（2005年辽宁省）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．4．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．5．（2005年陕西省）根据如图1所示的数据，求得避雷针CD的长约为______m（结果精确到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6820，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7314，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）(1)(2)(3)6．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）7．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m2．（利用计算器计算，结果精确到1m2）8．（2005年上海市）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=23B．cosB=23C．tanB=23D．tanB=329．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（32，12）B．（-32，12）C．（-32，-12）D．（-12，-32）10．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米B．8.5米C．10.3米D．12.0米11．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图4所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价30元，则购买这种草皮至少需要（）A．13500元B．6750元C．4500元D．9000元(4)(5)(6)12．如图5所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A．200mB．180mC．150mD．100m13．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高5AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图6所示），那么挡光板AC的宽度应为（）A．1.8tan80°mB．1.8cos80°mC．1.8sin80mD．1.8cot80°m14．在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长．15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角且sinA=12，cosB=32，试判断△ABC的形状？16．（2006年聊城市）如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32°≈53100，cos32°≈1065,tan301258．）17．（2006年金华市）如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km的范围内是否受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？6【巩固练习二】1．（2006年广州市）如图1，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为________米（结果保留根号）．(1)(2)(3)2．（2006年海淀区）如图2，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________米．3．（2005年湘潭市）如图3，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．4．（2006年山西省）如图4，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影子长为2米，则电线杆的高度约为_______米（结果保留两位有效数字，2≈1.41，3≈1.73）．(4)(5)(6)5．（2005年临汾市）小强和小明去测量一座古塔的高度（如图5），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（）A．（203-1.5）米B．（203+1.5米）C．31.5D．28.56．（2006年新疆自治区）如图6是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A．（60+100sinα）cmB．（60+100cosα）cmC．（60+100tanα）cmD．以上答案都不对7．（2006年威海市）如图，河流的两岸MN，PQ互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E……．某人在河岸MN的A处测得∠DAN=38°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CF（精确到0.1米）．78．（2005年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（答案保留根号）9．（2005年包头市）如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B点是否在暗礁区域处．．．；（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．10．（2005年嘉兴市）如图，已知登山缆车行驶路线与水平线间的夹角α=30°，β=47°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数）（以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）11．如图所示，从一块矩形薄板ABCD上裁下一个工件GEHCPD（阴影部分）．图中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm，求工件GEHCPD的面积．（参考数据：tan11°18′≈15，tan33°42′≈23）812．（2006年常德市）如图所示，小山的顶