第10章分离变数

第十章分离变数（傅里叶级数）法前面是求通解后根据定解条件确定待定函数或常数的方法，只适用于很少的定解问题，通常偏微分方程的通解难以求得，其次，即使已求得通解，但要根据定解条件确定通解中含有的任意函数也较困难。因此，求解偏微分方程的定解问题时，常常是直接去求满足定解条件方程的解。§35分离变数法介绍分离变量法○1是将定解问题的解的形式表为各独立变数的函数的乘积，因而将偏微分方程的求解问题转化为几个常微分方程的求解问题。为了能够确定其中一个常微分方程的解。不仅需要将原来方程的自变量分离，而且要求能够从原来的边界条件分离变量得出相应于该常微分方程的边界条件。为此要求原边界条件是齐次的或者是可分离变量的，否则无法直接使用分离变量法。○2在求解过程中必出现由常微分方程（它的自变量是空间变量）和相应的齐次边界条件构成的本征问题，由此确定一个本征函数族和相应的一系列本征值。§35.1分离变数法考虑两端固定的均匀弦的自由振动。220000(/)|,|0|(),|()(0)ttxxxxltttuauaTuuuxuxxl注意到波在两端点之间往复反射形式形成驻波的事实。因此，定解问题的解具有驻波的形式(,)()()uxtXxTt，将其代入泛定方程有''''2TXaTX，因方程两边分别是两独立变量t，x的函数，因此，两边应等于同一常数，记''''2TXaTx。将试探解(,)()()uxtXxTt也代入边界条件(0)()0,()()0XTtXlTt知(0)0,()0XXl。即原定解问题变为''2''00(0)0,()0(,)()()TaTXXXXluxtXxTt0|(),|()tttuxux本征值问题：''0(0)0,()0XXXXl讨论：○1120,()xxXxCeCe将边界条件(0)0,()0XXl代入有12120,0llCCCeCe得120,CC即()0Xx，无意义。○20，同样有120CC得()0Xx无意义。○30，12()cossin,XxCxCx将(0)0X代入有10C，将()0Xl代入有2sin0Cl，若20C，则解无意义（X(x)=0），因此仅当sin0l即222(1,2)nnl——本征值。相应于某n值有2()sinnnxXxCl——本征函数。再将222nl代入''20TaT则有()cossinnnnnatnatTtABll即两端固定弦上的可能驻波为(,)(cossin)sin(1,2)nnnnatnatnuxtABxnlll中的一可能的本征振动方式。注意到泛定方程和定解条件的线性性，因此，一般解应是各个线性独立解得线性叠加，即11(,)(,)(cossin)sinnnnnnnatnatnuxtuxtABxlll最后将(,)uxt代入初始条件11sin()sin()nnnnnAxxlnanBxxll0xl利用三角函数的正交性则有：002()sin2()sinlnlnnAdlllnBdnalx例题：P185-200练习P201(5)§35.2傅里叶级数法由上面讨论提示我们可以将(,),(),()uxtxx做傅里叶级数展开，注意到边界条件(0)0,()0XXl，则求解可直接采用正弦级数的展开形式，即1(,)()sinnnnxuXTTtl将其代入泛定方程的222''20()cossinnnnnnnanatnatTTTtABlll，再利用初始条件求出nA和nB。如果边界条件是：(0)0,()0XXl，则求解可直接采用余弦级数的展开形式，即0(,)()cosnnnxuXTTtl如果边界条件是：(0)0,()0XXl，则求解可直接采用余弦级数的展开形式，即0(21)(,)()sin2nnnxuXTTtl如果边界条件是：(0)0,()0XXl，则求解可直接采用余弦级数的展开形式，即0(21)(,)()cos2nnnxuXTTtl§35.3非齐次边界条件的处理由于分离变数法的前提是边界条件也必须是齐次的，因此对于非齐次的边界条件必须进行处理。020|()|()0022000000|(),|()|(),|()()|0,|0|()|,|()|xxlttxxwuvxxlvtvttttttxxttxxxxlttttttuauututuxutwawvav这样边界条件变为齐次的，代价是方程变为非齐次的。当然，在特定情况下可使方程变为齐次。因此可应用分离变量法。如P217例2§36齐次的泛定方程对于第一类齐次边界条件用分离变数法或考虑到边界条件的类型，可直接假定解关于坐标的部分是傅里叶正弦级数。同样对于第二类齐次边界条件，则可利用分离变数法或直接假定解关于坐标的部分是傅里叶余弦级数，对于第三类齐次边界条件，只有使用分离变数法逐步求解。例1.20(0,)0,(,)0(,0)(),(,0)()ttxxxxtuauutultuxxuxx0xl解：对于有界空间，其解应是驻波形式的解，即独立变量的函数的积，考虑到边界条件是第二类齐次边界条件，因而关于空间部分应为傅里叶余弦级数，即0(,)()cosnnnuxtTtxl代入原泛定方程有：''2()0nnnaTTl其解00cossin,(0),(0)nnnnanaAtBtnTllABtn即001(,)(cossin)cosnnnnananuxtABtAtBtxlll代入初始条件：0101cos()cos()nnnnnxAAxlnanxBBxll(0)xl利用基本函数族的正交关系有：0000001()2()cos1()2()cosllnllnAxdxlnxAxdxllBxdxlnxBxdxnal例2.20(0,)0,(,)0ttxxxuauutult设(,)()()uxtXxTt代入泛定方程有''''2'(0)()0,()()0TXaTxXTtXlTt则有：''2''2'0(21)()sin(0.1.2)02(0)0,()0kTaTkXxCxkXXlXXl222(21)4kl(21)(21)()cossin2kkkkatkatTtABll(,)()()kkkuxtTtXt例3、22000000,/()|,|/|,(0)txxxxxltuauakluuuqkuuxl取00(,)/(,)uxtuqxkwxt代入有200(0,)0,(,)0(,0)/,(0)txxxwawwtwltwxqxkxl例4、0000(0,),(,),(0)(,0),(,),(0)xxyyuuuyuuayuybuxuuxbUxa令(,)(,)(,)uxyvxywxy00000|,||0,|0xxyyxxayybvvvuvuvv0000|0,|0|,|xxyyxxayyb例：P204§37非齐次的泛定方程的处理上节我们讨论了非齐次边界条件齐次化的方法，最后泛定方程和初始条件可能是非齐次的，这时可利用叠加原理将u(x,t)分解为两部分，即对于定解问题：020|()|()002200000(,)|(),|()|(),|()(,)()|0,|0|()|,|()|xxlttxxuwvxxlvtvttttttxxttxxxxlttttttuaufxtututuxuxwawfxtvav令III2000000:|0,|0|()|,|()|IIttxxIIIxxlIIttttttwa22000(,)():|0,|0|0,|0IIIIttxxttxxIIIIIIxxlIIIItttwawfxtvav对于Iw的求解，前面已解决。下面着重讨论形如IIw的定解问题。§37.1冲量定理法定解问题2000(,)||0||0ttxxxxltttuaufxtuuuu(,)(,)/fxtFxt作用于弦上单位长度单位质量上的力。力(,)fxt持续作用于整个系统，对(,)uxt的影响是0—t时刻的作用的累加，注意到：0(,)(,)()tfxtfxtd。考虑到泛定方程和定解条件的线性性，则方程的解应是由瞬时力引起的振动的累加。即0(,)(,,)tuxtvxtd（这里要求初始条件为零，因为我们只考虑了时刻t=0之后的瞬时力的作用）其中：22(,)()00t00000(,)()(,)()||0||0||0||0ttxxttxxfxtxxlxxlttttttvavfxtvavfxtvvvvvvvv由于直到时刻仍未起作用对泛定方程从00积分有2000||(,,)0(,)2ttxxvvavxfx即0|(,)ttvfx考虑到(,)()fxtt从0t开始不再起作用，因此若将初始时刻取0t，则有2000000,,ttxxxxltttafx求出该自由振动的,,xt，然后再进行叠加例200,0,00,txxxxxxltuaufxtuuu解：注意到定解问题的线性，同时0,,tfxtfxtd，则存在0,,,tuxtxtd，满足2,txxafxt00,0xxxxl00,000ttfxt注意到在仍未起作用对泛定方程从00积分有0,tfx同时从时刻0、,fxt不再起作用。若将初始时刻取0t则有20000,0,txxxxxxltauufx，按以前方法求解并将时间坐标平移t例：P210、P214、P217§37.2格林函数法在物理上任意源所产生的场可以看成许多点源所产生的场的迭加，而格林函数则代表着一个点源所产生的场。我们知道，方程的非齐次项代表源的作用，而一个特定的非齐次数理方程代表了一种特定的场和产生这种场的源之间的关系。例如泊松方程表示了静电场和它的场源——电荷之间的关系；非齐次热传导方程表示温度场和热源之间的关系，非齐次波动方程表示波场合力源之间的关系。由于这些数理方程都是线性的，对它们，迭加原理都成立。因此，在各种线性方程所描写的物理现象中，一个持续的连续分布的源，可看成瞬时的点源的迭加。一个持续的连续分布的源所产生的场可看成是许多瞬时点源所产生的场的迭加。由此，点源所产生的场是基本的，我们把无限空间中点源的场称为相应的非齐次数理方程的基本解——格林函数。即持续作用于系统上的外力00,,tlfxtfxtdd，作用在点