第4讲一元二次方程与二次函数

-1-中考数学重难点专题讲座第4讲一元二次方程与二次函数主备：卢勇第一部分真题精讲【例1】2010，西城，一模已知：关于x的方程23(1)230mxmxm．⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称．①求二次函数1y的解析式；②已知一次函数222yx，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值12yy≥均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数23yaxbxc的图象经过点(50)，，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy≥≥，均成立，求二次函数23yaxbxc的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y恰好是抛物线1y的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y用只含a的表达式表示出来,再利用132yyy≥≥,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当0m时，原方程化为033x，解得1x，（不要遗漏）-2-∴当0m，原方程有实数根.当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，∵222[31]4236930mmmmmm△≥.∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.（2）①∵关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称，∴0)1(3m.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）∴1m.∴抛物线的解析式为121xy.②∵221212210yyxxx≥，（判断大小直接做差）∴12yy≥（当且仅当1x时，等号成立）.（3）由②知，当1x时，120yy.∴1y、2y的图象都经过1,0.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）∵对于x的同一个值，132yyy≥≥，∴23yaxbxc的图象必经过1,0.又∵23yaxbxc经过5,0，∴231545yaxxaxaxa.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设)22(54223xaaxaxyyy)52()24(2axaax.∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy≥≥均成立，∴320yy≥，-3-图7-1-2-3-3-2-1-4-5-621123∴2(42)(25)0yaxaxa≥.又根据1y、2y的图象可得0a，∴24(25)(42)04aaaya最小≥.（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）∴2(42)4(25)0aaa≤.∴2(31)0a≤.而2(31)0a≥.只有013a，解得13a.∴抛物线的解析式为35343123xxy.【例2】2010，门头沟，一模关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛-4-物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得22224(1)0mm（）解得54m210m解得1m当54m且1m时，方程有两个不相等的实数根.（2）由题意得212(2)11mm解得31mm，（舍）(始终牢记二次项系数不为0)28101yxx（3）抛物线的对称轴是58x由题意得114B，(关于对称轴对称的点的性质要掌握)14x与抛物线有且只有一个交点B(这种情况考试中容易遗漏)另设过点B的直线ykxb（0k）把114B，代入ykxb，得14kb，114bk114ykxk28101114yxxykxk整理得218(10)204xkxk有且只有一个交点，21(10)48(2)04kk解得6k162yx综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有14x，162yx-5-【例3】已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程221xbx=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解析】(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴3142bx，所以，4b．（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2241xx=0．因为，24bac=16－8=80．所以，方程有两个不同的实数根，分别是12122bxa，22122bxa．（3）由（1）可知，抛物线2241yxx的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式为2241yxxk．若使抛物线2241yxxk的图象与x轴无交点，只需22410xxk无实数解即可．-6-由24bac=168(1)k=88k0，得1k又k是正整数，所以k得最小值为2．【例4】2010，昌平，一模已知抛物线2442yaxaxa，其中a是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若25a，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.（1）依题意，得0a，∴2442yaxaxa2244222.axxax∴抛物线的顶点坐标为(2,2)（2）∵抛物线与x轴交于整数点，∴24420axaxa的根是整数．∴24164(42)222aaaaaxaa是整数．∵0a，∴22xa是整数．∴2a是整数的完全平方数．∵25a，∴25a．(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)∴2a取1，4，-7-当21a时，2a；当24a时，12a．∴a的值为2或12．∴抛物线的解析式为2286yxx或2122yxx．【例5】2010，平谷，一模已知：关于x的一元二次方程21210mxmx（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线2121ymxmx总过x轴上的一个固定点；（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程21210mxmx有两个不相等的整数根，把抛物线2121ymxmx向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m－1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx－x－1)(x+1)就可以看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：（1）22241mmm∵方程有两个不相等的实数根,∴0m∵10m,∴m的取值范围是0m且1m.（2）证明：令0y得21210mxmx.∴2222121mmmmxmm.-8-∴12221121211mmmmxxmmm，(这样做是因为已经知道判别式是2m,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)∴抛物线与x轴的交点坐标为11001m，，，,∴无论m取何值，抛物线2121ymxmx总过定点10，（3）∵1x是整数∴只需11m是整数.∵m是整数，且01mm，,∴2m当2m时，抛物线为21yx．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为223168yxxx【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。第二部分发散思考【思考1】.2010，北京中考已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线-9-12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了