第10讲二元一次方程的整数解(含答案,颜)

第10讲二元一次方程的整数解姓名内容提要1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解,显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2、二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一:整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则y=1-5k(2),把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2,∴原方程所有的整数解是kykx51211（k是整数）方法二:公式法：设ax+by=c有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）①用观察法直接写出。例题例1求方程5x－9y=18整数解的通解解x=53235310155918yyyyy设ky53（k为整数），y=3－5k,代入得x=9－9k∴原方程整数解是kykx5399（k为整数）又解：当x=0时，y=－2，∴方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整数解解：x=52056100yyy(1)，设ky5(k为整数)，则y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，∵00yx解不等式组050620kk得0＜k620,k的整数解是1，2，3，∴正整数解是514yx108yx152yx例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x+5y=38（x,y都是正整数）∵x＝1时，y=7，∴71yx是一个整数解∴通解是kykx3751（k为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k∴整数k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。练习101，求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4,5x-11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42,求方程的正整数解：①5x+7y=87,②5x+3y=1103，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？2，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。3，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）①4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.6,一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7．用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=14－2x=371y