搜索
1第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。㈡余数周期。这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。㈢同余问题。1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。记作：α≡b（modc）例如：15÷4＝3……323÷4＝5……315和23对于除数4同余。记作：15≡23（mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α≡b(modm)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。例如，73≡23(mod10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。2同余性质2：如果α≡b(modm)，c≡d(modm),则α±c≡b±d(modm)两数和的余数等于余数的和。两数差的余数等于余数的差。例如，73≡3(mod10)84≡4(mod10)73+84≡3+4≡7(mod10)84－73≡4－3≡1(mod10)同余性质3：如果α≡b(模m)，c≡d(模m),则α×c≡b×d(模m)两数积的余数等于余数的积。例如，73≡3(模10)84≡4(模10)73×84≡3×4≡2(模10)同余性质4：如果α≡b(模m)则αn≡bn(模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。例如，40≡1（mod13）4031≡131≡1（mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。4、“物不知其数”。与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3绝招二：加同补。例4、作业4、学案3绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。3例1（3130＋3031）被13除所得的余数是多少?分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。即3130除以13的余数为12。⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3解：⑴31≡5（模13）3130≡530≡52≡12（模13）⑵30≡4（模13）3031≡431≡41≡4（模13）⑶3130＋3031≡12＋4≡3（模13）答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。例2一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少?分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。290－233＝57233－195＝38290－195＝95除数是57、38、95的公约数，（57，38，95）＝19答：这个自然数是19。例3学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友？分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。176÷人数＝A个……χ216÷人数＝B个……2χ324÷人数＝C个……3χ⑵176×2－216＝136；176＋216－324＝68；176×3－324＝204（136，68，204）＝68学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。⑶检验：176÷34＝5个……6216÷34＝6个……124324÷34＝9个……1834人符合题意。检验：176÷68＝2个……40216÷68＝3个……1268人不符合题意。答：学前班有34位小朋友。例4200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。200以内60的倍数有60、120、180共3个。相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。例5（1998年小学数学奥林匹克预赛）某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。][11，13]＝11×13＝143设某数为143n－3。⑵143n≡7n（模17）3≡3（模17）143n－3≡7n－3（模17）只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。⑶n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998答：这个数的最小可能值是998。例6（2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。分析：⑴设所得的商为α，余数为b（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝200173α＋3b＝2001b＜19⑵2001÷73＝27……30α＝27，b＝10这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；答：这三个数分别是523、631、847。超常挑战三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少?分析：⑴设这三个自然数分别为χ－1，χ，χ＋1。55的倍数7的倍数原数χ－1χ2倍2χ－22χ转化2χ－72χ－72χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。[5，7]＝35，⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）当K＝1时，2χ－7＝35χ＝21χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。家庭作业1、著名的裴波那契数列是这样的：l、2、3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少?分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。2.一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。解：⑴用数学表达式表述题意70÷n＝A……a……①103÷n＝B……2a＋2……②⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋270×2＋2＝142142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。⑶39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。70÷13＝5……5103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）所以，n＝53.一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？解：设这个大于10的自然数为n。根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。用n去除90、164后所得的两个余6数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。当n＝34时，90÷34＝2……22；164÷34＝4……28；220÷34＝6……1622＋28≠16所以，n≠34当n＝17时，90÷17＝5……5；164÷17＝9……11；220÷17＝12……165＋11＝16所以，n＝17答：符合要求的自然数是17。.4.一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少?解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。N÷11＝……8N÷13＝……10这两个除法算式的余数与除数的差都是“3”，11－8＝13－10＝3。把被除数N加上3之后除以11和13都能整除，也就是说（N＋3）是11和13的公倍数。[11，13]＝143，143－3＝140，140就是所求的数。5.一个数除以5余3，除以6余4，除以7余l，求满足条件的最小的自然数。解：用数学式子表示题意N÷5＝……3N÷6＝……4N÷7＝……1根据前两个条件，N＋2后除以5和6都能整除，没有余数。N＋2是5和6的公倍数，N比5和6的公倍数少2，符合前两个条件的最小的自然数是5×6－2＝28。在比5和6的公倍数少2的数中寻找除以7余1的数。5和6的最小公倍数是30。30－2＝2830×2－2＝5830×3－2＝8830×4－2＝11830×5－2＝148除以7的余数02461答：除以5余3，除以6余4，除以7余1的最小的自然数是148。6、（2004年福州市“迎替杯”小学数学竞赉试题）一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是。解：⑴设这个自然数除以11的商和余数都是A，除以9所得的余数是B。这个数÷11＝A……A→这个数＝11A＋A＝12A（A＜11）这个数÷9＝3B……B→这个数＝27B＋B＝28B（B＜9）⑵12A＝28B3A＝7BA＝7,B＝3这个数＝12A＝12×7＝84这个数＝28A＝28×3＝84答：这个自然数是84。7尖子班学案【学案1】（2007年实验中学考题）12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022除以7所得的余数为多少？解：12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022＝＝1001×2003×13351001是7的倍数，1001×2003×1335也是7的倍数。所以12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022除以7所得的余数为0。【学案2】甲、乙、丙三个数分别为603、939、393。