第10讲因式分解及其应用

1第10讲因式分解的应用如果你不能解决这个提出的问题，环视一下四周，找一个适宜的有关的问题。辅助问题可能提供方法论的帮助。它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作等等。——波利亚知识方法扫描因式分解是一种重要的恒等变形。利用恒等变形，我们可以解决许多数学问题。如求代数式的值；证明不等式；处理与整数有关的一些问题：分解质因数、判断数的整除性、求方程的整数解等。经典例题解析例1．（2005年东清市初中数学竞赛试题）已知正实数a,b,c满足方程组222229,217,225.abacbcabcabc求a+b+c的值。解三式相加，得：2222()(222)72(a+b+c)()720.[(a+b+c)+9][(a+b+c)-8]=0.abcabcabbccaabc∵a,b,c都是正实数，a+b+c+90.a+b+c=8.例2（1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a为正整数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明。解a4-3a2+9=a4+6a2+9-9a2=(a2+3)2-(3a)2=(a2+3a+3)(a2-3a+3)=(a2+3a+3)[(a-1)(a-2)+1]当a=1时，a4-3a2+9=7是质数；当a=2时，a4-3a2+9=13是质数；当a2时,a2+3a+31,(a-1)(a-2)+11,故a4-3a2+9是合数。例3．(第17届江苏省初二数学竞赛试题)多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解为两个一次因式(x+b)，(x+c)的乘积,则a的值应为多少？解因x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)=x2+(b+c)x+bc，故有b+c=-a-5,bc=5a-1消去a,变形得（b+5）(c+5)=-1因b，c是整数，故有b=-4,c=-6或b=-6,c=-4。于是a=5例4．设n是大于1的正整数，求证n4+4是合数．证明.n4+4=n4+4n2+4-4n2=(n2+2)2-4n22=(n2-2n+2)(n2+2n+2),∵n2+2n+2n2-2n+2=(n-1)2+11,∴.n4+4是合数.例5．(第9届华罗庚金杯数学邀请赛初二决赛试题)计算：.)64335)(6427)(6419)(6411)(643()6439)(6431)(6423)(6415)(647(4444444444]4)2][(4)2[()84)(84(16)8(16641664:22222222244aaaaaaaaaaaa解.33741441)437)(433)(429)(425)(421)(417)(413)(49)(45)(41()441)(437)(433)(429)(425)(421)(417)(413)(49)(45(2222222222222222222222原式例6．（1985年北京市初二数学竞赛试题）若a是正整数，则)(|1019495981aa。证明)1(36194919491985aaaa)1)(1)(1(6122421949aaaaaa=)1)(1)(1(362aaaaa)1)(1()1(236aaaaa当a的个位数字分别为0，1，2，…，9时，上式右端总含有因子2和5．这样,).(|1019491985aa例7．（上海市初中数学竞赛试题）设正数x、y、z满足不等式：yzxzyxyzyx22222222,12222zxyxz求证：以z、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形．证明将已知不等式变形为：02)()()(222222222xyzyxzyxzyxzyxz322322322yyxyzxxzxyzzyzx02xyzxyzzxyxxyzyxxyzyzxz23322322()()()(0)2zy2222().)(()()(xzyxyxyxzyxxyzyxz0)2yxy①0))()((zyxyxzxzy不妨设,zyx因x、y、z为正数，对于不等式①，只能有如下两种情况：1．左边的三个因式都大于0；2．左边的因式为二负一正．只要我们能推出第3一种情况成立，则原命题成立，但直接证比较困难，现假设不等式①左边三个因式为二负一正，则有：zyxyxzxzy或yxzzyxxzy或xzyzyxyxx这与所设z≥y≥z矛盾，于是可知不等式①左边三个因式不能为二负一正，故只能是不等式①左边三个因式都为正，即有：y+zz，z+xy，x+yz成立，所以原命题得证，即以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形，例8．（第37届国际数学奥林匹克备选题）在一个圆周上标记了4个整数，规定一个方向，使每个整数都有相邻的下一个数，每一步操作是指对每一个数，同时用该数与下一个数之差来替换，即对于a、b、c、d依次用a-b、b-c、c-d、d-a来替换，问经过1996步这样的替换之后，是否可以得到4个数a、b、c、d，使得|bc一ad|、|ac-bd|、|ab-cd|都是质数？解答案是否定的，下面证明，设经过n次操作后得到的数依次是kkkkdcba,,,记n=1996，则nnnndacb))((1111nnnndccb))((1111nnnncdba))((111111nnnnnndbcaca)())[((222211nnnnnndcbaca)]()(2222nnnnadcb))((2222211nnnnnndbcaca).)((4333311nnnnnndbcaca于是，||4nnnndacb,||nnnndacb不可能为质数。同步训练一选择题1．（2005·杭州市“思维数学”夏令营）请你估计一下22222222222(21)(31)(41)(991)(1001)123499100的值应该最接近于（）(A)1(B)12(C)1100(D)12002．(第1届“希望杯”全国初中数学邀请赛题)已知数x＝500000100001010个个nn,则()(A)x是完全平方数(B)（x－50）是完全平方数(C)（x－25）是完全平方数(D)（x＋50）是完全平方数43．（2002年江苏省初中数学竞赛试题）a、b、c是正整数,a＞b,且a2－ab－ac＋bc＝7,则a－c等于（）（A）－1（B）－1或－7（C）1（D）1或74．已知：a,b,c是△ABC的三边长，那么代数式（a2+b2-c2）2-4a2b2的值（）。（A）一定是正数（B）一定是负数（C）一定不是正数（D）一定不是负数5．(1990年“缙云杯”数学竞赛试题)在1到100之间若存在整数n，使x2+x-n能分解为两个整系数一次式之积，这样的n有（）个.（A）0（B）1（C）2（D）9二填空题6．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27是一个质数，则这个质数是__________.7．（2001年上海市初中数学竞赛试题）方程431112xyyx的整数解（x,y）＝__________.8．（上海市初中数学竞赛试题）满足方程x2－2y2＝1的所有质数解（即x、y都是质数的解）是.9．(1996年上海市初中数学竞赛试题)设一菱形的边长是一个两位数，对调这个两位数的个位数码和十位数码，得到的新数恰为该菱形一条对角线长度的一半，若该菱形另一条对角线长度也是整数，则该菱形的边长为。10．（第4届创新杯数学邀请赛试题）一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行了12个单位长度后，向左爬行了22个单位长度，再向右爬行了32个单位长度后，向左爬行了42个单位长度。这样一直爬下去，最后向右爬行了92个单位长度后，向左爬行了102个单位长度，到达A点。则A点表示的数是。三解答题11.(1985年全国部分省市通讯赛试题)计算：444444441111(1)(3)(5)(19)44441111(2)(4)(6)(20)444412.（第24届全苏数学奥林匹克试题）n为怎样的自然数时，数32n+1－22n+1－6n是合数？13．（第11届国际数学奥林匹克试题）证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．14．(1986年江苏省初中数学竞赛试题)若p、q均为大于5的任意质数，证明p4-q4总能被240整除15．（2008年浙江省湖州市初二数学竞赛试题）已知四个实数,,,abcd，且5,abcd.若四个关系式：24aac，2224,8,8bbccacdad同时成立，（1）求ca的值；（2）分别求dcba,,,的值.同步训练题参考答案1．B原式=2222221324354698100991011011123499100210022．C500000100001010个个nn=102n＋4＋10n+3＋50=(102n＋4＋2·10n+2·5＋25)+25=(10n+2+5)2+253．D因为a(a－b)－c(a－b)＝7,所以(a－b)(a－c)＝7，而a－b＞0,所以a－c＞0.因此a－c＝1或74．B（a2+b2-c2）2-4a2b2=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)05．D.设x2+x-n=(x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab,故a-b=-1,ab=n.于是n为两个连续整数之积，在1到100之间，有2，6，12，20，30，42，56，72，90共9个。6．11.a4-4a3+15a2-30a+27=（a2-3a+3）（a2-a+9）.由于a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27是一个质数，且a2-3a+3a2-a+9,故a2-3a+3=1，解得a=1或a=2。当a=1时，a2-a+9=9，不是质数；当a=2时，a2-a+9=11，即a4-4a3+15a2-30a+27=11。7．（3,2）原方程可化为4y2＋4xy－4＝3xy2，即y(3xy－4y－4x)＝－4.所以y＝-4,-2,-1,1,2,4.对应的3xy-4y-4x＝1,2,4,－4,－2,－1.解得：41615yx253yx10yx10yx23yx4811yx由于xy≠0,所以原方程整数解为（3,2）8．x＝3,y＝2.将已知方程化为：2y2＝x2－1,因x、y都是质数,故知2y2为偶数,因而x2－1为偶数,x2为奇数,所以x为奇数.6由得1222yx：y2＝2)1)(1(212xxx,∵x＋1和x－1均为偶数,其积为4的倍数,∴y2为偶数,故y为偶数.∵在偶数中只有2为质数,∴y＝2。把y＝2代入x2－2y2＝1中,得x＝±3.∵x为质数,∴x＝3,9．65设菱形边长为10x+y,则一条对角线长为2(10y+x),另一条对角线长为2z(x,y是一位整数，2z是正整数)。则(10y+x)2+z2=(10x+y)2，z2=(10x+y)2-(10y+x)2=11(x+y)(x-y)×9。设(x+y)(x-y)=11k2,(k是正整数)当k=1时，(x+y)(x-y)=11×1，因x+yx-y,有x+y=11，x-y=1，解得x=6,y=5;当k=2时,(