第10讲待定系数法(高中版)

第10讲待定系数法(高中版)（第课时）D重点：1．；2．；3．。难点：1．；2．；3．；。1．；2．；3．。1．；2．；3．。在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。二次函数解析式有三种表达形式，1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0,a,b,c为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0,a,h,k为常数，（h,k）为顶点坐标。3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0,a,x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点（或与x轴的一个交点及对称轴），用交点式。解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax2+bx+c=0(a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。1．待定系数法在求数列通项中的应用例.（高三）数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！分析：一般地，形如a1n=pan+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解，只要设a1n+k=p（an+k）并与原式比较系数可得出k，从而得等比数列{an+k}。解：令an+k=21(a1n+k)，即an=21a1n-21k，与原式比较系数可得k=-2，则由an=21a1n+1（n≥2）得an－2=21（a1n－2），而a1－2=1－2=－1，∴数列{an－2}是以21为公比，－1为首项的等比数列，∴an－2=－（21）1n，∴an=2－（21）1n。点评：本题使用待定系数法求数列通项。例.（高三）数列{an}满足23,5,21221nnaaaana=0，求数列{an}的通项公式。分析：对于nnnqapaa12型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列}{1nnaa，这只要设)(112nnnnkaahkaa，再比较系数得qhkpkh，qhk可解得h、k。本题递推式02312nnnaaa中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1na的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1nnaa。解：由02312nnnaaa得0)(2112nnnnaaaa，即）nnnnaaaa112(2，且32512aa，∴}{1nnaa是以2为公比，3为首项的等比数列，∴1123nnnaa，利用逐差法可得112111)()()(aaaaaaaannnnn=2232323021nn=2)1222(321nn=221213n=123n∴1231nna。2．待定系数法在求复数中的应用3．待定系数法在三角中的应用4．待定系数法在立几中的应用5．待定系数法在求曲线方程中的应用解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设曲线方程→条件转换成关于待定系数的方程（组）→求出系数→把系数代入所设的曲线方程。例.（高三）一个圆经过)1,2(p点，和直线1yx相切，并且圆心在直线xy2上，求它的方程。解：设圆的方程为222)()(rbyax，则abrbarba221)1()2(222解之得214189rba或2221rba故所求方程为392)18()9(22yx或8)2()1(22yx。能力测试认真完成！12345678求数列通项√√复数求复数三角立几解几求曲线方程√1.（高三）数列{an}满足a1=1，0731nnaa，求数列{an}的通项公式。解：由0731nnaa得37311nnaa，设a)(311kaknn，比较系数得373kk，解之得47k，∴{47na}是以31为公比，以43471471a为首项的等比数列，∴1)31(4347nna，∴1)31(4347nna。点评：本题使用待定系数法求数列通项。2.（高三）数列{an}中，nnnaaaaa122123,2,1，求数列{an}的通项公式。解：由nnnaaa1223得,313212nnnaaa设)(112nnnnkaahkaa比较系数得3132khhk，，解得31,1hk或1,31hk若取31,1hk，则有)(31112nnnnaaaa∴}{1nnaa是以31为公比，以11212aa为首项的等比数列∴11)31(nnnaa由逐差法可得112211)()()(aaaaaaaannnnn=11)31()31()31()31(232nn=1311)31(11n=11)31(43471)31(143nn点评：若本题中取1,31hk，则有nnnnaaaa3131112即得}31{1nnaa为常参考答案仔细核对！数列，故373123131311211aaaaaannnn。3.（高三）设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴abcaabac2222222105()解得：ab105∴所求椭圆方程是：x210＋y25＝1点评：本题使用待定系数法求曲线方程。本题也可由垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再解bcacabc105222，更容易求出a、b的值。BB’A’F’O’FyAx