第11章作业题

11-8在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm．问所用光的波长为多少，是什么颜色的光？分析与解在双缝干涉中，屏上暗纹位置由212kddx决定，式中d′为双缝到屏的距离，d为双缝间距．所谓第5条暗纹是指对应k＝4的那一级暗纹．由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离mm27822.x，那么由暗纹公式即可求得波长λ．此外，因双缝干涉是等间距的，故也可用条纹间距公式ddx求入射光波长．应注意两个第5条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？），故mm97822.x。解1屏上暗纹的位置212kddx，把m102782243.,xk以及d、d′值代入，可得λ＝632.8nm，为红光．解2屏上相邻暗纹（或明纹）间距'dxd，把322.7810m9x，以及d、d′值代入，可得λ＝632.8nm．11-9在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1nm的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．分析双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5－x-5＝10Δx可求出Δx．再由公式Δx＝d′λ／d即可求出双缝间距d．解根据分析：Δx＝（x5－x-5）/10＝1.22×10-3m双缝间距：d＝d′λ／Δx＝1.34×10-4m11-10一个微波发射器置于岸上，离水面高度为d，对岸在离水面h高度处放置一接收器，水面宽度为D，且,DdDh，如图所示．发射器向对面发射波长为λ的微波，且λ＞d，求接收器测到极大值时，至少离地多高？分析由发射器直接发射的微波与经水面反射后的微波相遇可互相干涉，这种干涉与劳埃德镜实验完全相同．形成的干涉结果与缝距为2d，缝屏间距为D的双缝干涉相似，如图（b）所示，但要注意的是和劳埃德镜实验一样，由于从水面上反射的光存在半波损失，使得两束光在屏上相遇产生的光程差为2/sin2λθd，而不是θdsin2．题11-10图解由分析可知，接收到的信号为极大值时，应满足,...2,12/sin2kλkλθddkDDDh412sintan/取k＝1时，得dDh4min/．11-11如图所示，由光源S发出的λ＝600nm的单色光，自空气射入折射率n＝1.23的一层透明物质，再射入空气．若透明物质的厚度为d＝1.0cm，入射角θ＝30°，且SA＝BC＝5.0cm，求：（1）折射角θ1为多少？（2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各为多少？（3）S到C的几何路程为多少？光程又为多少？解（1）由折射定律n1sinsin可得oo124231sin30arcsinsinarcsin.n（2）单色光在透明介质中的速度vn，波长λn和频率ν分别为Hz100.5nm488m1088.4sm1044.214718ncnλλncnnvv（3）S到C的几何路程为m1110cos1.BCdSABCABSASCS到C的光程为m114011.BCnABSADnii题11-11图11-12一双缝装置的一个缝被折射率为1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个缝被折射率为1.70的薄玻璃片所遮盖．在玻璃片插入以后，屏上原来中央极大的所在点，现变为第五级明纹．假定λ＝480nm，且两玻璃片厚度均为d，求d值．题11-12图分析本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率．在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差Δ＝0，故点O处为中央明纹，其余条纹相对点O对称分布．而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，Δ≠0，故点O不再是中央明纹，整个条纹发生平移．这时，干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化．因此，对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．插入介质前的光程差Δ1＝r1－r2＝k1λ（对应k1级明纹），插入介质后的光程差Δ2＝[（n1－1）d＋r1］－[（n2－1）d＋r2］＝k2λ（对应k2级明纹）．光程差的变化量为Δ2－Δ1＝（n2－n1）d＝（k2－k1）λ式中（k2－k1）可以理解为移过点P的条纹数（本题为5）．因此，对于这类问题，求解光程差的变化量是解题的关键．解由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原中央明纹所在点O，有51212dnn将有关数据代入可得μm08512.nnd11-13白光垂直照射到空气中一厚度为380nm的肥皂膜上．设肥皂的折射率为1.32．试问该膜的正面呈现什么颜色？背面呈现什么颜色？分析这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长．解根据分析对反射光加强，有,...,/2122kkne124kne/在可见光范围，k＝2时，nm8668.（红光）k＝3时，nm3401.（紫光）故正面呈红紫色．同理，对透射光加强，有2ne＝kλ（k＝1，2，…）在可见光范围仅有k＝2时，λ＝501.6nm（绿光）．即背面呈绿色．11-14在折射率n3＝1.52的照相机镜头表面涂有一层折射率n2＝1.38的MgF2增透膜，若此膜仅适用于波长λ＝550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？分析在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光（或两透射光）的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射（或透射）中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用．本题所述的增透膜，就是希望波长λ＝550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果（因感光底片对此波长附近的光最为敏感）．具体求解时应注意在d0的前提下，k取最小的允许值．解1因干涉的互补性，波长为550nm的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差Δ2＝2n2d，由干涉相消条件2122k，得2412nkd取k＝0，则dmin＝99.6nm．解2由于空气的折射率n1＝1，且有n1＜n2＜n3，则对透射光而言，两相干光的光程差2221dn，由干涉加强条件Δ1＝kλ，得2412nkd取k＝1，则膜的最小厚度dmin＝99.6nm．11-15利用空气劈尖测细丝直径．如图所示，已知λ＝589.3nm，L＝2.888×10-2m，测得30条条纹的总宽度为4.259×10-3m，求细丝直径d．分析在应用劈尖干涉公式Lnbd2时，应注意相邻条纹的间距b是N条条纹的宽度Δx除以（N－1）．对空气劈尖n＝1．解由分析知，相邻条纹间距1Nxb，则细丝直径为m107552125.xnNLnbd题11-15图11-17如图（a）所示，将符合标准的轴承钢珠a、b和待测钢珠c一起放在两块平板玻璃之间，若垂直入射光的波长λ＝580nm，问钢珠c的直径比标准小多少？如果距离d不同，对检测结果有何影响？分析很显然，如钢珠c与标准件a、b相同，则呈现厚度相同的薄膜干涉；如钢珠与标准件不同，则为劈尖干涉．后者有等厚干涉条纹出现，a与c之间的条纹分布如图（b）所示．由于相邻条纹的厚度差Δd＝λ/2n．而空气的折射率n≈1，则两钢珠之间的直径差2Nx，式中N为a与c之间的条纹间隔数目（注：条纹数目较多时，也可用条纹数目作近似计算），由图（a）知N约为416．改变钢珠间的距离d，将钢珠c移至c′处，如图（c）所示，a与c′之间条纹数并未改变，但由于相邻条纹间距变小，从而影响观测．题11-17图解钢珠c和a、b的直径不同，则两平板玻璃形成空气劈．由分析得，钢珠c的直径与标准件直径相差m1081126.Nx当距离d稍微改变时，a、b与c之间条纹数目未变，故不影响检验结果．11-18折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜（劈尖角θ很小）．用波长λ＝600nm的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n＝1.40的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小Δl＝0.5mm，那么劈尖角θ应是多少？分析劈尖干涉中相邻条纹的间距l≈λ/2nθ，其中θ为劈尖角，n是劈尖内介质折射率．由于前后两次劈形膜内介质不同，因而l不同．则利用l≈λ/2nθ和题给条件可求出θ．解劈形膜内为空气时，2/空l劈形膜内为液体时，nl2/液则由nlll2//液空，得rad107112114./ln11-21在牛顿环实验中，当透镜与玻璃之间充以某种液体时，第10个亮环的直径由1.40×10-2m变为1.27×10-2m，试求这种液体的折射率．分析当透镜与平板玻璃间充满某种液体（n2＞1），且满足n1＞n2，n2＜n3或n1＜n2，n2＞n3时，在厚度为d的地方，两相干光的光程差为222dn．由此可推导出牛顿环暗环半径2nkRr和明环半径221nRkr，这里明、暗环半径和充入的介质折射率n2有关．有兴趣的读者可自行推导．必须指出，在牛顿环中，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环半径的公式与教材中的公式是不同的，不能随意套用．解当透镜与玻璃之间为空气时，k级明纹的直径为Rkrdkk2122当透镜与玻璃之间为液体时，k级明纹的直径为22122Rkrdkk解上述两式得22122.kkddn11-23把折射率n＝1.40的薄膜放入迈克耳孙干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0条条纹的移动，求膜厚．设入射光的波长为589nm．分析迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况．在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动．解插入厚度为d的介质片后，两相干光光程差的改变量为2（n－1）d，从而引起N条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2（n－1）d＝Nλ，得d＝Nλm101545126.nNd11-24如图所示，狭缝的宽度b＝0.60mm，透镜焦距f＝0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处．若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O为x＝1.4mm处的点P，看到的是衍射明条纹．试求：（1）该入射光的波长；（2）点P条纹的级数；（3）从点P看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目．分析单缝衍射中的明纹条件为212sinkb，在观察点P确定（即φ确定）后，由于k只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值．此外，如点P处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k＋1），它们都与观察点P有关，φ越大，可以划分的半波带数目也越大．解（1）透镜到屏的距离为d，由于d＞＞b，对点P而言，有dxsin．根据单缝衍射明纹条件212sinkb，有212kdbx将b、d（d≈f）、x的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有272nm760754nm400maxmaxmaxmin.,.,kk时时因k只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k＝４和k＝３，它们所对应的入射光波长分别为λ2＝466.7nm和λ1＝600nm．（2）点P的条纹级次随入射光波长而异，当λ1＝600nm时，k＝